İki kare farkı, iki terimin karelerinin birbirinden çıkarılmasıyla oluşan cebirsel bir ifadedir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak için çok kullanışlı bir özdeşlik vardır.
Özdeşlik: İki terimin karelerinin farkı, bu iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
Matematiksel olarak ifade edersek:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Buradaki;
Sağ taraftaki çarpımı dağılma özelliği (çarpanlara dağılma) ile genişleterek ispatlayabiliriz:
\( (a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b \)
\( = a^2 + ab - ab - b^2 \)
\( = a^2 - b^2 \)
Görüldüğü gibi sağdaki çarpımı yaptığımızda soldaki ifadeyi elde ettik. Bu, özdeşliğimizin doğru olduğunu gösterir.
Örnek 1: \( x^2 - 9 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: İki kare farkı olarak yazabiliriz. \( 9 = 3^2 \) olduğuna dikkat edelim.
\( x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \)
Örnek 2: \( 4a^2 - 25b^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: Terimlerin kareköklerini bulalım. \( 4a^2 = (2a)^2 \) ve \( 25b^2 = (5b)^2 \)
\( 4a^2 - 25b^2 = (2a)^2 - (5b)^2 = (2a - 5b)(2a + 5b) \)
Örnek 3: \( 48^2 - 42^2 \) işleminin sonucunu iki kare farkından faydalanarak bulunuz.
Çözüm: İki kare farkı özdeşliğini uygularsak:
\( 48^2 - 42^2 = (48 - 42)(48 + 42) \)
\( = (6)(90) \)
\( = 540 \)
Görüldüğü gibi karelerini alıp çıkarmak yerine, bu yöntemle çok daha hızlı bir şekilde sonuca ulaştık.
Uyarı: Bu özdeşlik sadece "fark" durumunda geçerlidir. İki kare toplamı olan \( a^2 + b^2 \) ifadesi benzer şekilde çarpanlara ayrılamaz. \( a^2 + b^2 \neq (a+b)(a+b) \)
Soru 1: Bir kenar uzunluğu (x + 3) birim olan kare şeklindeki bir kâğıttan, bir kenar uzunluğu (x - 3) birim olan daha küçük bir kare kesilerek çıkarılıyor. Geriye kalan kâğıdın alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(6x\) b) \(6x + 9\) c) \(x^2 + 9\) d) \(12x\) e) \(x^2 - 9\)
Cevap: d) \(12x\)
Çözüm: Büyük karenin alanı \((x+3)^2\), küçük karenin alanı \((x-3)^2\)'dir. Kalan alan, bu iki ifadenin farkına eşittir: \((x+3)^2 - (x-3)^2\). Bu ifade, iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılabilir: \([(x+3) - (x-3)] \cdot [(x+3) + (x-3)] = [6] \cdot [2x] = 12x\).
Soru 2: \(2024^2 - 2023^2\) işleminin sonucu kaçtır?
a) 1 b) 2023 c) 2024 d) 4047 e) 4088481
Cevap: d) 4047
Çözüm: Verilen ifade iki kare farkı özdeşliğine uymaktadır: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Burada a=2024, b=2023'tür. Sonuç: \((2024 - 2023) \times (2024 + 2023) = (1) \times (4047) = 4047\).
Soru 3: \(16m^2 - 25n^2\) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \((4m - 5n)^2\) b) \((8m - 5n)(2m + 5n)\) c) \((4m - 5n)(4m + 5n)\) d) \((16m - 25n)(m + n)\) e) \((8m - 25n)(2m + n)\)
Cevap: c) \((4m - 5n)(4m + 5n)\)
Çözüm: \(16m^2\) ve \(25n^2\) ifadeleri birer tam karedir (\((4m)^2\) ve \((5n)^2\)). İki kare farkı özdeşliği \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) formülü uygulanırsa, \(a=4m\) ve \(b=5n\) için sonuç \((4m - 5n)(4m + 5n)\) olur.
