9. Sınıf İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Nedir?

Question

İki üçgenin eş olması için kenar-açı-kenar (KAK), açı-kenar-açı (AKA) gibi belirli kuralları biliyorum ama benzerlikte hangi şartlar yeterli oluyor tam emin değilim. Mesela sadece açıların eşit olması yeterli mi, yoksa kenar oranlarının da aynı olması mı gerekiyor? Kafam karıştı.

Answer 1

İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar

Geometride iki üçgenin eş veya benzer olup olmadığını belirlemek için bazı koşullar vardır. Bu koşullar, üçgenlerin karşılıklı kenar ve açıları arasındaki ilişkiye dayanır.

1. Eş Üçgenler İçin Koşullar

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki koşullardan en az biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşitse üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA): İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarı eşitse üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK): İki üçgenin tüm karşılıklı kenarları eşitse üçgenler eştir.
• Kenar-Açı-Açı (KAA): İki üçgenin bir kenarı ve bu kenara komşu iki açısı eşitse üçgenler eştir (Açıların toplamı \(180^\circ\) olduğundan üçüncü açı da eşit olur).

2. Benzer Üçgenler İçin Koşullar

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan en az biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA): İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse üçgenler benzerdir (Üçüncü açı da eşit olacağından).
• Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK): İki üçgenin tüm karşılıklı kenarları orantılıysa üçgenler benzerdir.

Not: Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir (oran \(1:1\)), ancak benzer üçgenler mutlaka eş olmak zorunda değildir.

Answer 2

9. Sınıf İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. İki üçgenin eş olması için kenar-kenar-kenar (KKK) kuralında, karşılık gelen kenarların uzunlukları ________ olmalıdır.

2. İki üçgenin benzer olması için açı-açı-açı (AAA) kuralında, karşılık gelen açıların ölçüleri ________ olmalıdır.

3. İki üçgenin eş olması için kenar-açı-kenar (KAK) kuralında, iki kenar ve bu kenarların arasındaki açı ________ olmalıdır.

Eşleştirme

• A. Kenar-Açı-Kenar (KAK)
• B. Açı-Kenar-Açı (AKA)
• C. Kenar-Kenar-Kenar (KKK)
• D. Açı-Açı (AA)

4. İki üçgenin eş olduğunu gösteren kurallar: ________

5. İki üçgenin benzer olduğunu gösteren kurallar: ________

Doğru/Yanlış

6. İki üçgenin karşılık gelen iki açısı eşitse, bu üçgenler kesinlikle eştir. (D/Y)

7. İki üçgenin karşılık gelen kenarları orantılıysa, bu üçgenler benzerdir. (D/Y)

8. Kenar-kenar-kenar (KKK) kuralı hem eşlik hem de benzerlik için geçerlidir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

9. İki üçgenin eş olduğunu ispatlamak için hangi asgari koşulların sağlanması gerekir? Üç örnek veriniz.

10. İki üçgenin benzer olduğunu gösteren iki farklı kuralı yazınız.

Kısa Test

11. Aşağıdakilerden hangisi iki üçgenin benzerliği için yeterli değildir?

a) İki açının eşit olması

b) Üç kenarın orantılı olması

c) İki kenarın eşit olması

d) İki kenar ve bir açının eşit olması

Cevaplar:

1: eşit

2: eşit

3: eşit

4: A, B, C

5: D

6: Y

7: D

8: Y

9: KAK, AKA, KKK

10: AA, KKK

11: c

Answer 3

9. Sınıf İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Asgari Koşullar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki üçgen çiftlerinden hangisinin benzer olduğunu kesin olarak söyleyebilmek için en az kaç elemanın eşit veya orantılı olması gerekir?
a) İki açısı eşit olan üçgenler
b) İki kenarı orantılı ve bir açısı eşit olan üçgenler
c) Üç kenarı orantılı olan üçgenler
d) Bir kenarı eşit ve iki açısı eşit olan üçgenler
e) Sadece bir açısı eşit olan üçgenler
Cevap: a) İki açısı eşit olan üçgenler
Çözüm: Benzerlik için asgari koşul, iki açının eşit olmasıdır (A.A. benzerlik kuralı). Diğer seçeneklerde ek bilgi gerekir veya yetersizdir.

Soru 2: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenleri için \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50° \) ve \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 \) veriliyor. Bu üçgenlerin eş olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi eklenmelidir?
a) \( BC = EF \)
b) \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
c) \( \frac{AB}{DE} = 1 \)
d) \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)
e) \( AC = DF \)
Cevap: c) \( \frac{AB}{DE} = 1 \)
Çözüm: Eşlik için karşılıklı kenarların eşit (\( k=1 \)) olması gerekir. Verilen oran 2 olduğundan, oranın 1'e eşitlenmesi şarttır (K.A.K. eşlik kuralı).