Doğrusal fonksiyon, genel olarak \( f(x) = mx + b \) şeklinde ifade edilen ve grafiği bir doğru olan fonksiyonlardır. Burada:
Mutlak değer fonksiyonu, \( f(x) = |x| \) şeklinde tanımlanır ve bir sayının işaretsiz büyüklüğünü verir. Genel formu:
\[ f(x) = a|x - h| + k \]
Doğrusal fonksiyonlar, gerçek hayat problemlerini modellemek için sıkça kullanılır. Örneğin:
Doğrusal eşitsizlikler (\( ax + b \leq c \)) grafik üzerinde çözülürken:
Soru 1: Bir doğrusal fonksiyonun grafiği, x eksenini -3 noktasında ve y eksenini 6 noktasında kesmektedir. Bu fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a) y = 2x + 6
b) y = -2x + 6
c) y = 3x - 6
d) y = -3x - 6
e) y = x + 3
Cevap: a) y = 2x + 6
Çözüm: Fonksiyon x eksenini -3'te kesiyorsa f(-3)=0, y eksenini 6'da kesiyorsa f(0)=6 olmalıdır. y=mx+n formunda n=6'dır. -3m + 6 = 0 → m=2. Denklem: y=2x+6.
Soru 2: |2x - 4| = 10 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Cevap: c) 4
Çözüm: Mutlak değer tanımından 2x-4=10 → x=7 ve 2x-4=-10 → x=-3. Çözümler toplamı: 7 + (-3) = 4.
Soru 3: Bir telefon şirketinin aylık ücret tarifesi "Sabit 20 TL + dakika başına 0.5 TL" şeklindedir. 100 dakika konuşma yapan bir müşterinin ödeyeceği toplam ücret ile ilgili aşağıdaki denklemlerden hangisi doğrudur?
a) f(x) = 20x + 0.5
b) f(x) = 0.5x + 20
c) f(x) = 20.5x
d) f(x) = 20 + 50
e) f(x) = 100x + 20
Cevap: b) f(x) = 0.5x + 20
Çözüm: Doğrusal fonksiyon modelinde sabit ücret (20 TL) y-keseni, değişken ücret (0.5x) eğimdir. Denklem: f(x)=0.5x+20.
Soru 4: y = |x - 3| + 2 fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a) x=3 noktasında minimum değeri vardır
b) y eksenini (0,5) noktasında keser
c) V şeklinde bir grafiktir
d) x eksenini iki noktada keser
e) Tüm reel sayılarda tanımlıdır
Cevap: d) x eksenini iki noktada keser
Çözüm: y=|x-3|+2 ≥ 2 olduğundan x eksenini kesmez. Minimum değer (3,2) noktasındadır ve y(0)=5'tir.
1. \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun eğimi _____'dir.
2. Mutlak değer fonksiyonunun grafiği genellikle _____ şeklindedir.
3. \( |x - 5| = 7 \) denkleminin çözüm kümesi _____ ve _____'dir.
Aşağıdaki fonksiyonları nitel özellikleriyle eşleştirin.
1. Doğrusal fonksiyonların grafikleri her zaman düz bir çizgidir. (D/Y)
2. \( f(x) = |x| \) fonksiyonu her zaman artandır. (D/Y)
3. \( 2x - 5 > 3 \) eşitsizliğinin çözümü \( x > 4 \)'tür. (D/Y)
1. \( f(x) = -x + 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizerek x-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
2. \( |2x + 1| = 5 \) denkleminin tüm çözümlerini yazınız.
1. Hangi fonksiyon doğrusal değildir?
A) \( f(x) = 5x \) B) \( f(x) = x^2 \) C) \( f(x) = \frac{1}{2}x - 3 \)
2. \( 3x + 2 \leq 8 \) eşitsizliğinin çözümü nedir?
A) \( x \leq 2 \) B) \( x \geq 2 \) C) \( x \leq -2 \)
Cevaplar:
1: 2
2: V
3: -2, 12
1: C, 2: A, 3: B
1: D, 2: Y, 3: D
1: (4,0), 2: x=2, x=-3
1: B, 2: A
Soru 1: Bir bakteri kolonisi, her saat başı 3 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri bulunan bir koloni için 4 saat sonraki bakteri sayısı kaç olur?
a) 1200
b) 2400
c) 7200
d) 8100
e) 9000
Cevap: d) 8100
Çözüm: Üstel artış formülü \( N = N_0 \times 3^t \) ile hesaplanır. \( 100 \times 3^4 = 100 \times 81 = 8100 \) bakteri olur.
Soru 2: Bir arabanın hızı \( v(t) = 2t + 5 \) (km/s) fonksiyonu ile modelleniyor. Buna göre, bu araç 3. saniyede kaç km yol alır?
a) 11
b) 24
c) 33
d) 42
e) 48
Cevap: e) 48
Çözüm: Alınan yol, hızın integrali ile bulunur: \( \int (2t + 5) \, dt = t^2 + 5t \). \( t = 3 \) için \( 3^2 + 5 \times 3 = 9 + 15 = 24 \) km. Ancak soruda "3. saniyede" ifadesi anlık hızı sorguluyor olabilir, bu durumda \( v(3) = 2 \times 3 + 5 = 11 \) km/s olur. Soru metninde belirsizlik varsa, yaygın yorum üzerinden cevap 11 (a seçeneği) olarak da düşünülebilir. Not: Soru metni netleştirilmeli.
