🎨 Birebir (İnjektif) Fonksiyon Nedir?
Birebir fonksiyon, diğer adıyla injektif fonksiyon, tanım kümesindeki farklı elemanların, değer kümesinde farklı görüntülere sahip olduğu fonksiyonlardır. Yani, eğer $f(a) = f(b)$ ise, bu durumda $a = b$ olmalıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun farklı girdileri farklı çıktılar üretir.
- 🍎 Tanım: Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu için, her $a_1, a_2 \in A$ için, eğer $a_1 \neq a_2$ ise $f(a_1) \neq f(a_2)$ oluyorsa, $f$ fonksiyonu birebirdir.
- 🧪 Grafiksel Yöntem: Bir fonksiyonun birebir olup olmadığını anlamak için yatay çizgi testi kullanılabilir. Eğer yatay bir çizgi, fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesmiyorsa, fonksiyon birebirdir.
- 💡 Örnek: $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonu birebirdir. Çünkü farklı $x$ değerleri için farklı $f(x)$ değerleri elde ederiz.
🌈 Örten (Sürjektif) Fonksiyon Nedir?
Örten fonksiyon, diğer adıyla sürjektif fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğu fonksiyonlardır. Yani, değer kümesinde boşta eleman kalmaz. Başka bir deyişle, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşittir.
- 🍎 Tanım: Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu için, her $b \in B$ için, en az bir $a \in A$ vardır öyle ki $f(a) = b$ olur. Bu durumda $f$ fonksiyonu örtendir.
- 💡 Örnek: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^3$ fonksiyonu örtendir. Çünkü her reel sayı, bir reel sayının küpü olarak ifade edilebilir.
- 🧪 Görüntü Kümesi: Bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için görüntü kümesini bulmak önemlidir. Eğer görüntü kümesi, değer kümesine eşitse, fonksiyon örtendir.
✨ Birebir ve Örten (Bijektif) Fonksiyon Nedir?
Birebir ve örten fonksiyon (bijektif fonksiyon), hem birebir hem de örten olan fonksiyonlardır. Bu tür fonksiyonlar, tanım kümesi ile değer kümesi arasında birebir eşleme sağlarlar.
- 🍎 Tanım: Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu hem birebir hem de örten ise, $f$ fonksiyonu bijektiftir.
- 🧪 Özellikler:
- 🔑 Her elemanın eşsiz bir karşılığı vardır.
- 🔑 Değer kümesinde boşta eleman kalmaz.
- 💡 Örnek: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x$ (birim fonksiyon) birebir ve örtendir.
❓ Fonksiyonların İncelenmesi: Örnekler ve Çözümler
Aşağıda bazı fonksiyon örnekleri ve bu fonksiyonların birebir, örten veya bijektif olup olmadıklarının incelenmesi bulunmaktadır.
- 🍎 Örnek 1: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2$
- 🧪 Birebir değildir, çünkü $f(2) = f(-2) = 4$.
- 🧪 Örten değildir, çünkü negatif reel sayıların karşılığı yoktur.
- 🍎 Örnek 2: $f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), f(x) = x^2$
- 🧪 Birebir değildir, çünkü $f(2) = f(-2) = 4$.
- 🧪 Örtendir, çünkü görüntü kümesi $[0, \infty)$'dur.
- 🍎 Örnek 3: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = e^x$
- 🧪 Birebirdir, çünkü farklı $x$ değerleri için farklı $e^x$ değerleri elde ederiz.
- 🧪 Örten değildir, çünkü negatif sayıların karşılığı yoktur.
