9. Sınıf Öteleme Dönüşümü ve Özellikleri Nedir, Örnekleri ve formülleri

Question

Ötelemenin ne olduğunu ve nasıl yapıldığını tam olarak anlamakta zorlanıyorum. Bir şeklin koordinat düzleminde nasıl kaydırıldığını, özellikle de formülleri kullanmayı pek kavrayamadım. Basit örnekler üzerinden nasıl uygulandığını gösterir misiniz?

Answer 1

📐 Öteleme Dönüşümü Nedir?

Bir şeklin yer değiştirmesi, yani kaydırılması işlemine öteleme dönüşümü denir. Ötelemede şeklin boyutu, biçimi ve yönü değişmez, sadece konumu değişir. Şekil üzerindeki her nokta aynı yönde ve aynı miktarda hareket eder. 🚶‍♂️➡️🚶‍♂️

🎯 Ötelemenin Özellikleri

• ✅ Şeklin boyutu ve biçimi korunur.
• ✅ Şeklin yönü değişmez.
• ✅ Şekil üzerindeki tüm noktalar aynı yönde ve aynı miktarda kayar.
• ✅ Öteleme, bir doğruya göre yansıma veya dönme değildir; sadece paralel kaydırmadır.

🧮 Öteleme Formülleri (Analitik Düzlemde)

Analitik düzlemde (koordinat sisteminde) bir noktayı ötelemek için bir öteleme vektörü kullanırız. Bu vektör bize noktanın ne kadar ve hangi yönde kayacağını söyler.

Öteleme vektörümüz v = (a, b) olsun. Bu durumda:

• ➡️ Bir P(x, y) noktasının ötelenmiş hali P'(x', y') olur.
• ➡️ Öteleme formülü: P'(x + a, y + b)

Yani, x koordinatına vektörün x bileşeni (a), y koordinatına ise vektörün y bileşeni (b) eklenir.

📝 Öteleme Örnekleri

🔹 Örnek 1: Nokta Öteleme

Problem: A(3, 5) noktasını v = (2, -1) vektörü kadar öteleyin.

Çözüm:

• Yeni x koordinatı: 3 + 2 = 5
• Yeni y koordinatı: 5 + (-1) = 4
• ✅ Sonuç: A'(5, 4)

🔹 Örnek 2: Üçgen Öteleme

Problem: Köşe noktaları A(1, 2), B(4, 2), C(2, 5) olan bir üçgeni v = (3, 2) vektörü kadar öteleyin.

Çözüm: Her bir köşe noktasını ayrı ayrı öteliyoruz:

• A(1, 2) ➡️ A'(1+3, 2+2) = A'(4, 4)
• B(4, 2) ➡️ B'(4+3, 2+2) = B'(7, 4)
• C(2, 5) ➡️ C'(2+3, 5+2) = C'(5, 7)

Ötelenmiş üçgenin köşeleri A'(4,4), B'(7,4), C'(5,7) olur. Orijinal ve ötelenmiş üçgenler aynı büyüklük ve şekle sahiptir. 🔺

🔹 Örnek 3: Geriye Öteleme

Problem: B'(8, 3) noktası, B noktasının v = (5, -2) vektörü kadar ötelenmiş halidir. B noktasının koordinatlarını bulun.

Çözüm: Bu sefer işlemi tersinden yapacağız. Öteleme vektörünü çıkararak orijinal noktayı buluruz:

• B'nin x koordinatı: 8 - 5 = 3
• B'nin y koordinatı: 3 - (-2) = 3 + 2 = 5
• ✅ Sonuç: B(3, 5)

💡 Önemli Hatırlatmalar

• 📌 Öteleme, şeklin sadece konumunu değiştirir.
• 📌 Öteleme vektörü (0, 0) ise şekil olduğu yerde kalır.
• 📌 Öteleme, şeklin oryantasyonunu (yönelimini) değiştirmez.
• 📌 Günlük hayatta bir masayı kaydırmak, bir kitabı rafta ileri itmek ötelemeye örnektir. 📚➡️📚