9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Nedir?

Question

Sayı kümelerinin dört işleme göre kapalı olması, o kümedeki sayılarla yapılan işlemlerin sonucunun yine aynı kümede çıkması demek. Örneğin, tam sayılar toplama işlemine kapalı çünkü iki tam sayıyı toplayınca sonuç yine tam sayı oluyor. Ama doğal sayılar çıkarma işlemine kapalı değil, çünkü bazı çıkarma işlemlerinde sonuç negatif çıkabiliyor.

Answer 1

Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı

Bir sayı kümesinin dört işleme göre kapalılığı, o kümedeki sayılar arasında yapılan işlemlerin sonucunun yine aynı kümede olup olmadığını ifade eder. Eğer sonuç aynı kümedeyse, o küme o işleme göre kapalıdır.

1. Doğal Sayılar (\( \mathbb{N} \))

• Toplama: Kapalıdır. Örneğin, \( 3 + 5 = 8 \) (8 de bir doğal sayıdır).
• Çıkarma: Kapalı değildir. Örneğin, \( 5 - 7 = -2 \) (-2 doğal sayı değildir).
• Çarpma: Kapalıdır. \( 4 \times 6 = 24 \) (24 doğal sayıdır).
• Bölme: Kapalı değildir. \( 5 \div 2 = 2.5 \) (2.5 doğal sayı değildir).

2. Tam Sayılar (\( \mathbb{Z} \))

• Toplama: Kapalıdır. \( -3 + 4 = 1 \) (1 tam sayıdır).
• Çıkarma: Kapalıdır. \( 5 - 9 = -4 \) (-4 tam sayıdır).
• Çarpma: Kapalıdır. \( -2 \times 3 = -6 \) (-6 tam sayıdır).
• Bölme: Kapalı değildir. \( 1 \div 2 = 0.5 \) (0.5 tam sayı değildir).

3. Rasyonel Sayılar (\( \mathbb{Q} \))

• Toplama: Kapalıdır. \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \) (rasyonel sayıdır).
• Çıkarma: Kapalıdır. \( \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \) (rasyonel sayıdır).
• Çarpma: Kapalıdır. \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35} \) (rasyonel sayıdır).
• Bölme: Kapalıdır (payda sıfır olmadığı sürece). \( \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8} \) (rasyonel sayıdır).

4. Gerçek (Reel) Sayılar (\( \mathbb{R} \))

• Tüm işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) kapalıdır (payda sıfır olmadığı sürece).
• Örneğin, \( \sqrt{2} + \pi \) veya \( \frac{\sqrt{5}}{3} \) gibi ifadeler de reel sayıdır.

Not: İrrasyonel sayılar (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)) tek başına dört işleme göre kapalı değildir. Örneğin, \( \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \) (0 irrasyonel değildir).

Answer 2

9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Doğal sayılar kümesi (\( \mathbb{N} \)) aşağıdaki işlemlerden hangisine göre kapalı değildir?
a) Toplama   b) Çıkarma   c) Çarpma   d) Üs alma   e) Bölme
Cevap: b) Çıkarma. Çözüm: Örneğin \( 5 - 7 = -2 \) sonucu \( \mathbb{N} \) kümesinde yoktur.

Soru 2: Tam sayılar kümesi (\( \mathbb{Z} \)) için \( a \star b = \frac{a+b}{2} \) işlemi tanımlanıyor. Bu işleme göre \( \mathbb{Z} \) kapalı mıdır?
a) Evet, her zaman   b) Hayır, hiçbir zaman   c) Sadece tek sayılar için   d) Sadece çift sayılar için   e) Koşula bağlı
Cevap: e) Koşula bağlı. Çözüm: \( 3 \star 5 = 4 \) kapalıyken \( 3 \star 4 = 3.5 \) sonucu \( \mathbb{Z} \)'de değildir.

Soru 3: Rasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{Q} \)) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bölmeye göre kapalıdır   b) Kök almaya göre kapalıdır   c) \( \pi \) sayısını içerir   d) Sonlu elemanlıdır   e) Hiçbiri
Cevap: a) Bölmeye göre kapalıdır. Çözüm: İki rasyonel sayının bölümü (payda ≠ 0) yine rasyoneldir. \( \sqrt{2} \) gibi irrasyonel sonuçlar kök alma işleminde çıkabilir.

Soru 4: \( A = \{ x \mid x = 2k+1, k \in \mathbb{Z} \} \) tek sayılar kümesi için hangi işlem kapalılık sağlar?
a) Toplama   b) Çıkarma   c) Çarpma   d) Bölme   e) Hiçbiri
Cevap: c) Çarpma. Çözüm: İki tek sayının çarpımı tek iken (ör: \( 3 \times 5 = 15 \)), toplamları çifttir (\( 3 + 5 = 8 \)).

Answer 3

9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Doğal sayılar kümesi, çıkarma işlemine göre ______ değildir.

2. Tam sayılar kümesi, bölme işlemine göre ______ değildir.

3. Rasyonel sayılar kümesi, toplama işlemine göre ______ bir kümedir.

Eşleştirme

• A. Doğal Sayılar
• B. Tam Sayılar
• C. Rasyonel Sayılar
• 1. Çarpma işlemine göre kapalıdır.
• 2. Çıkarma işlemine göre kapalıdır.
• 3. Bölme işlemine göre kapalı değildir.

Doğru/Yanlış

4. İrrasyonel sayılar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır. (D/Y)

5. Gerçek sayılar kümesi, dört işleme göre kapalıdır. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

6. Hangi sayı kümeleri çarpma işlemine göre kapalıdır? Yazınız.

7. Tam sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olmamasının sebebi nedir?

Kısa Test

8. Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi çıkarma işlemine göre kapalıdır?

a) Doğal sayılar b) Tam sayılar c) Pozitif rasyonel sayılar

9. \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) \) işleminin sonucu hangi sayı kümesine aittir?

a) Doğal sayılar b) Tam sayılar c) İrrasyonel sayılar

Cevaplar:

1: kapalı

2: kapalı

3: kapalı

4: Y

5: D

6: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, gerçek sayılar

7: Tam sayıların bölümü her zaman tam sayı vermez

8: b

9: b

Answer 4

9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi çarpma işlemine göre kapalıdır?
a) Doğal sayılar kümesi (ℕ)
b) Tam sayılar kümesi (ℤ)
c) Rasyonel sayılar kümesi (ℚ)
d) İrrasyonel sayılar kümesi (ℚ')
e) Yukarıdakilerin hepsi
Cevap: c) Rasyonel sayılar kümesi (ℚ)
Çözüm: İrrasyonel sayılar çarpma işlemine göre kapalı değildir (örnek: √2 × √2 = 2 rasyoneldir). Diğer kümelerin hepsi çarpmaya göre kapalıdır, ancak seçenekte "hepsi" yanlıştır.

Soru 2: \( A = \{ -1, 0, 1 \} \) kümesi için aşağıdaki işlemlerden hangisine göre kapalıdır?
a) Toplama
b) Çıkarma
c) Çarpma
d) Bölme
e) Hiçbiri
Cevap: c) Çarpma
Çözüm: \(-1 × 0 = 0\), \(-1 × 1 = -1\) gibi tüm çarpım sonuçları küme içindedir. Toplamada \(1 + 1 = 2\) kümede yoktur.

Soru 3: Hangisi yanlıştır?
a) Tam sayılar çıkarma işlemine göre kapalıdır
b) Rasyonel sayılar bölme işlemine göre kapalıdır (payda sıfır hariç)
c) Doğal sayılar bölme işlemine göre kapalıdır
d) Gerçek sayılar toplama işlemine göre kapalıdır
e) Çift tam sayılar çarpmaya göre kapalıdır
Cevap: c) Doğal sayılar bölme işlemine göre kapalıdır
Çözüm: Örneğin \(5 ÷ 2 = 2.5\) doğal sayı değildir. Diğer seçeneklerdeki ifadeler doğrudur.

Soru 4: \( B = \{ x \mid x = 2k + 1, k \in ℤ \} \) (tek tam sayılar) kümesi için hangisi doğrudur?
a) Toplamaya göre kapalıdır
b) Çarpmaya göre kapalıdır
c) Her iki işleme de kapalıdır
d) Hiçbir işleme göre kapalı değildir
e) Sadece çıkarmaya göre kapalıdır
Cevap: b) Çarpmaya göre kapalıdır
Çözüm: İki tek sayının çarpımı tek sayıdır (3×5=15 gibi). Ancak toplamada 3+5=8 çift sayı olduğundan kapalı değildir.