9. Sınıf Üçgenlerin Benzer Olma Koşulları (Şartları) Nedir?

Question

Üçgenlerin benzer olması için kenarların orantılı olması veya açıların eşit olması gerekiyor ama hangi durumlarda benzer kabul ediliyor tam emin olamadım. Mesela iki açısı eşitse üçüncü açı da zaten eşit oluyor, bu yeterli mi? Ayrıca kenar oranları aynıysa açılara bakmaya gerek var mı?

Answer 1

Üçgenlerin Benzer Olma Koşulları

İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eşit ve kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. Benzerlik, "\(\sim\)" sembolü ile gösterilir. Örneğin, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde yazılır.

Benzerlik Koşulları

Üçgenlerin benzerliğini belirlemek için üç temel koşul vardır:

• Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı açıları eşitse benzerdir. Üçgenlerin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, iki açının eşit olması üçüncü açının da eşit olacağı anlamına gelir.
• Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerliği: İki üçgenin birer açısı eşit ve bu açıları oluşturan kenarlar orantılıysa benzerdir. Örneğin, \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \) ve \( \angle A = \angle D \) ise \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.
• Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerliği: İki üçgenin tüm kenarları orantılıysa benzerdir. Yani \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \) oranı sağlanıyorsa üçgenler benzerdir.

Örnek

\( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenlerinde:

• \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
• \( \angle B = \angle E = 70^\circ \)

Bu durumda, üçüncü açılar da eşit olacağından (\( \angle C = \angle F = 60^\circ \)) A.A.A. benzerlik koşulu sağlanır ve \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılabilir.

Not: Benzer üçgenlerin alanları, kenar oranlarının karesiyle orantılıdır. Örneğin kenar oranı \( \frac{1}{2} \) ise alan oranı \( \frac{1}{4} \) olur.

Answer 2

9. Sınıf Üçgenlerin Benzer Olma Koşulları Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler __________ üçgenlerdir.

2. İki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenler __________ benzerlik koşulunu sağlar.

3. İki üçgenin ikişer açısı eşit ise bu üçgenler __________ benzerlik koşulunu sağlar.

Eşleştirme

• A. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği
• B. Açı-Açı (AA) Benzerliği
• C. Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği

4. İki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı ise hangi benzerlik koşulu sağlanır? ( )

5. İki üçgenin ikişer açısı eşit ise hangi benzerlik koşulu sağlanır? ( )

6. İki üçgenin ikişer kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise hangi benzerlik koşulu sağlanır? ( )

Doğru/Yanlış

7. ( ) İki üçgenin tüm açıları eşit ise bu üçgenler benzerdir.

8. ( ) İki üçgenin tüm kenarları eşit ise bu üçgenler benzerdir.

9. ( ) İki üçgenin sadece bir açısı eşit ise bu üçgenler benzerdir.

Açık Uçlu Sorular

10. Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgenle benzer olan başka bir üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm ise bu iki üçgen hangi benzerlik koşulunu sağlar?

11. İki üçgenin ikişer açısı sırasıyla 30°, 60° ve 30°, 60° ise bu üçgenlerin benzer olduğunu hangi koşula göre söyleyebiliriz?

Kısa Test

12. Aşağıdakilerden hangisi üçgenlerin benzer olma koşullarından biri değildir?

A) Kenar-Kenar-Kenar (KKK)

B) Açı-Açı-Açı (AAA)

C) Kenar-Açı-Kenar (KAK)

D) Açı-Açı (AA)

Cevaplar:

1: benzer

2: Kenar-Kenar-Kenar (KKK)

3: Açı-Açı (AA)

4: A

5: B

6: C

7: D

8: Y

9: Y

10: Kenar-Kenar-Kenar (KKK)

11: Açı-Açı (AA)

12: B

Answer 3

9. Sınıf Üçgenlerin Benzer Olma Koşulları (Şartları) Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki üçgen çiftlerinden hangisi AAA Benzerlik Kuralı'na göre kesinlikle benzerdir?

a) İki açısı 30° ve 60° olan üçgen ile iki açısı 45° ve 45° olan üçgen
b) İki açısı 50° ve 70° olan üçgen ile iki açısı 50° ve 60° olan üçgen
c) İki açısı 40° ve 80° olan üçgen ile iki açısı 60° ve 80° olan üçgen
d) İki açısı 35° ve 110° olan üçgen ile iki açısı 35° ve 110° olan üçgen
e) İki açısı 90° ve 45° olan üçgen ile iki açısı 90° ve 30° olan üçgen

Cevap: d) İki açısı 35° ve 110° olan üçgen ile iki açısı 35° ve 110° olan üçgen
Çözüm: AAA benzerliği için karşılıklı açılar eşit olmalıdır. d seçeneğinde üçüncü açılar da (180°-35°-110°=35°) eşit olduğundan benzerlik sağlanır.

Soru 2: Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgen ile 9 cm, 12 cm ve 15 cm olan başka bir üçgen arasındaki benzerlik oranı nedir?

a) \( \frac{1}{2} \)   b) \( \frac{2}{3} \)   c) \( \frac{3}{4} \)   d) \( \frac{4}{5} \)   e) \( \frac{5}{6} \)

Cevap: b) \( \frac{2}{3} \)
Çözüm: Karşılıklı kenarların oranı alınır: \( \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \). Her üç oran da aynı olduğundan benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.