📐 Matematiksel Dönüşümler: Öteleme ve Dönme
Matematiksel dönüşümler, bir nesnenin veya şeklin uzaydaki konumunu, yönünü veya boyutunu değiştiren işlemlerdir. Geometri, lineer cebir ve bilgisayar grafikleri gibi birçok alanda temel bir kavramdır. Bu notta, en temel dönüşümlerden ikisi olan öteleme ve dönmeyi inceleyeceğiz.
📍 Öteleme (Translation)
Öteleme, bir nesneyi belirli bir yönde ve belirli bir mesafe kadar kaydırma işlemidir. Nesnenin şekli veya boyutu değişmez, sadece konumu değişir.
- ➡️ Tanım: Bir nesnenin her noktasının aynı vektör kadar kaydırılmasıdır.
- ➕ Formül: Bir P(x, y) noktasının (a, b) vektörü ile ötelenmiş hali P'(x+a, y+b) olur.
- 📝 Örnek: A(2, 3) noktasını (1, -2) vektörü ile ötelediğimizde A'(3, 1) noktasını elde ederiz.
🔄 Dönme (Rotation)
Dönme, bir nesneyi belirli bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı kadar döndürme işlemidir. Nesnenin şekli veya boyutu değişmez, sadece yönü değişir.
- 🔄 Tanım: Bir nesnenin bir nokta etrafında belirli bir açı kadar döndürülmesidir.
- 📐 Açı Yönü: Pozitif açılar saat yönünün tersine, negatif açılar ise saat yönünde dönmeyi ifade eder.
- ➕ Formül (Orijin Etrafında): Bir P(x, y) noktasının θ açısı ile orijin etrafında döndürülmüş hali P'(x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ) olur.
- 📍 Dönme Merkezi: Dönme merkezi orijin değilse, önce dönme merkezi orijine ötelenir, dönme işlemi yapılır ve sonra tekrar eski yerine ötelenir.
- 📝 Örnek: A(1, 0) noktasını 90 derece (π/2 radyan) orijin etrafında döndürdüğümüzde A'(0, 1) noktasını elde ederiz.
🔗 Dönüşümlerin Birleştirilmesi
Birden fazla dönüşümü ardışık olarak uygulayabiliriz. Örneğin, bir nesneyi önce öteleyip sonra döndürebiliriz. Dönüşümlerin sırası önemlidir, çünkü farklı sıralamalar farklı sonuçlar verebilir.
- 🔢 Matris Gösterimi: Dönüşümleri matrisler ile ifade etmek, dönüşümleri birleştirme işlemini kolaylaştırır.
- 🧮 Sıra Önemli: Dönüşümlerin sırası sonucu etkiler. Önce öteleme sonra dönme, önce dönme sonra öteleme ile aynı sonucu vermeyebilir.
Bu not, matematiksel dönüşümlerin temel kavramlarını ve en sık kullanılan iki dönüşüm olan öteleme ve dönmeyi açıklamaktadır. Bu konular, daha ileri düzey matematik ve mühendislik uygulamaları için temel oluşturur.
