Modüler aritmetik, tam sayıların belirli bir sayıya göre bölümünden kalanı esas alan bir matematik dalıdır. ALES'te sıklıkla karşılaşılan bu konu, özellikle sayısal mantık problemlerinde önemli bir yer tutar. Bu bölümde, modüler aritmetiğin temel kavramlarını ve ALES'te en çok çıkan soru tiplerini inceleyeceğiz.
ALES'te modüler aritmetik ile ilgili sorular genellikle aşağıdaki tiplerde karşımıza çıkar:
Gün bulma problemlerinde, bir haftanın 7 gün olduğu bilgisi kullanılır. Verilen gün sayısı 7'ye bölünerek kalan bulunur. Kalan, başlangıç gününden itibaren sayılır ve istenen gün bulunur.
Örnek: Bugün Salı ise, 100 gün sonra hangi gün olur?
Çözüm: $100 \equiv x \pmod{7}$ işlemini yapmalıyız. $100$'ün $7$ ile bölümünden kalan $2$'dir. Salı gününden $2$ gün sonra Perşembe gelir. Cevap: Perşembe.
Tekrar eden desenlerde, desenin periyodu bulunur. İstenen terimin numarası periyoda bölünerek kalan bulunur. Kalan, desenin başlangıcından itibaren sayılır ve istenen terim bulunur.
Örnek: $1, 2, 3, 1, 2, 3, ...$ şeklinde tekrar eden bir dizide 50. terim nedir?
Çözüm: Desenin periyodu $3$'tür. $50 \equiv x \pmod{3}$ işlemini yapmalıyız. $50$'nin $3$ ile bölümünden kalan $2$'dir. Desen $1, 2, 3$ şeklinde olduğu için, 2. terim $2$'dir. Cevap: $2$.
Kalan bulma problemlerinde, büyük sayıların modüler aritmetik özellikleri kullanılarak kalanı bulunur.
Örnek: $2^{100}$ sayısının $3$ ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: $2 \equiv -1 \pmod{3}$ olduğu için, $2^{100} \equiv (-1)^{100} \pmod{3}$ olur. $(-1)^{100} = 1$ olduğu için, $2^{100}$ sayısının $3$ ile bölümünden kalan $1$'dir. Cevap: $1$.
Denklik problemlerinde, verilen modüler denkliklerin çözüm kümesi bulunur.
Örnek: $3x \equiv 2 \pmod{5}$ denkleminin çözüm kümesini bulun.
Çözüm: $3$'ün mod $5$'teki tersi $2$'dir $(3 \cdot 2 \equiv 1 \pmod{5})$. Denklemin her iki tarafını $2$ ile çarparsak, $6x \equiv 4 \pmod{5}$ olur. Buradan $x \equiv 4 \pmod{5}$ bulunur. Cevap: $x \equiv 4 \pmod{5}$.
