Modüler aritmetik, sayıların belirli bir sayıya göre kalanlarını inceleyen bir matematik dalıdır. Günlük hayatta saatleri düşünürken aslında farkında olmadan modüler aritmetik kullanırız. Örneğin, şu an saat 10:00 ve 5 saat sonra saatin kaç olacağını merak ediyoruz. Cevap 15:00 değil, 3:00 olacaktır çünkü saatler 12'lik modüler sistemde çalışır.
Bu tip sorularda, bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalanı bulmanız istenir. ALES'te sıklıkla karşılaşılan bir soru tipidir. Temel prensip, bölme işlemini yapmadan kalanı bulmaya çalışmaktır.
Öncelikle $2^1, 2^2, 2^3, 2^4,...$ sayılarının 5 ile bölümünden kalanlarına bakalım:
Gördüğünüz gibi, kalanlar 4 adımda bir tekrar ediyor. O halde, $2^{20} = (2^4)^5$ olduğundan, $2^{20} \equiv 1^5 \equiv 1 \pmod{5}$ olur. Yani, kalan 1'dir.
Bu tip sorularda, belirli bir döngü içinde tekrar eden olaylar veya durumlar söz konusudur. Günler, aylar veya belirli bir kurala göre ilerleyen sayılar bu tür soruların konusunu oluşturabilir.
Günler 7'lik bir döngüde tekrar eder. Bu nedenle, 100'ü 7'ye böleriz. $100 \div 7 = 14$ (kalan 2). Bu, 14 hafta sonra yine Salı olacağı ve üzerine 2 gün daha eklememiz gerektiği anlamına gelir. Salı + 2 gün = Perşembe.
Bu tip sorularda, alışılmadık işlemler tanımlanır ve bu işlemlerin modüler aritmetik ile ilişkisi kurulur. Amaç, verilen işlemi anlamak ve modüler aritmetik kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmaktır.
Öncelikle parantez içindeki işlemi yaparız: $3 \otimes 4 = (3+4) \pmod{5} = 7 \pmod{5} = 2$. Daha sonra, $2 \otimes 2 = (2+2) \pmod{5} = 4 \pmod{5} = 4$. Yani, sonuç 4'tür.
Bu tip sorularda, belirli bir kurala göre oluşturulmuş sayı dizileri veya örüntüler verilir ve bu dizilerin veya örüntülerin belirli bir teriminin modüler aritmetik karşılığı sorulur.
$a_{10} = 3 \cdot 10 + 5 = 35$. Şimdi 35'in 7 ile bölümünden kalanı bulalım: $35 \equiv 0 \pmod{7}$. Yani, kalan 0'dır.
