Anlık hız nasıl bulunur?

Question

Anlık hızı bulmak için konum-zaman grafiğinin eğimini alıyoruz ama tam o anda eğimi nasıl hesaplayacağımı tam anlayamadım. Ortalama hız gibi iki nokta arasında değil de, tek bir noktada hızı bulmak kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Anlık Hız Nedir?

Bir cismin belirli bir andaki veya belirli bir konumdaki hızına anlık hız denir. Ortalama hız, bir zaman aralığındaki yer değiştirmeyi ifade ederken, anlık hız bu zaman aralığını sıfıra yaklaştırdığımızda elde ettiğimiz hızdır. Yani, "Şu anda ne kadar hızlı gidiyorum?" sorusunun cevabıdır.

Anlık Hız Nasıl Bulunur?

Anlık hız, matematikteki türev kavramı kullanılarak bulunur. Konum-zaman grafiğinde, belirli bir noktadaki teğetin eğimi bize anlık hızı verir.

Eğer bir cismin konumunun zamana bağlı denklemi \( x(t) \) şeklinde verilmişse, anlık hız \( v(t) \), konum denkleminin zamana göre türevine eşittir:

\( v(t) = \frac{dx}{dt} \)

Burada:

• \( v(t) \): t anındaki anlık hız
• \( x(t) \): Konumun zamana bağlı fonksiyonu
• \( \frac{dx}{dt} \): Konum fonksiyonunun zamana göre türevi

Örnek Problem ve Çözümü

Örnek: Bir arabanın konumu \( x(t) = 2t^2 + 5t + 1 \) denklemiyle veriliyor (x: metre, t: saniye). Buna göre, t=3 saniye anındaki anlık hızı bulalım.

Adım 1: Konum Denkleminin Türevini Al

Anlık hız, konumun türevidir.

\( x(t) = 2t^2 + 5t + 1 \)

\( v(t) = \frac{dx}{dt} = 2 \cdot 2t^{(2-1)} + 5 \cdot 1t^{(1-1)} + 0 \)

\( v(t) = 4t + 5 \)

Adım 2: İstenilen Zamanı Yerine Koy

t = 3 saniye için anlık hızı bulmak istiyoruz.

\( v(3) = 4(3) + 5 \)

\( v(3) = 12 + 5 \)

\( v(3) = 17 \ \text{m/s} \)

Sonuç olarak, arabanın 3. saniyedeki anlık hızı 17 m/s'dir.

Özet

• Anlık hız, bir cismin belirli bir andaki hızıdır.
• Konum-zaman grafiğinde, ilgili noktadaki teğetin eğimi anlık hızı verir.
• Konum-zaman denklemi \( x(t) \) verilirse, anlık hız bu denklemin zamana göre türevi alınarak bulunur: \( v(t) = \frac{dx}{dt} \).