📈 Aritmetik Dizi ve İlk n Terim Toplamı
Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizileridir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle \( d \) ile gösterilir.
🎯 Aritmetik Dizi Tanımı
Bir \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \) dizisi için:
- ✅ Her \( n \) pozitif tam sayısı için \( a_{n+1} - a_n = d \) (sabit)
- ✅ Genel terim formülü: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \)
🧮 İlk n Terim Toplamı Formülü (Sn)
Aritmetik bir dizinin ilk \( n \) teriminin toplamını bulmak için iki farklı formül kullanabiliriz:
📌 1. Formül
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1) \cdot d] \]
📌 2. Formül
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]
💡 Formüllerin Açıklaması
- ➡️ n: Toplamı alınacak terim sayısı
- ➡️ a1: Dizinin ilk terimi
- ➡️ an: Dizinin n. terimi
- ➡️ d: Ortak fark
🔢 Örnek Problemler
🎯 Örnek 1:
İlk terimi 3, ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin ilk 10 terim toplamını bulalım.
Çözüm:
- \( a_1 = 3 \), \( d = 2 \), \( n = 10 \)
- \( S_{10} = \frac{10}{2} \cdot [2 \cdot 3 + (10-1) \cdot 2] \)
- \( S_{10} = 5 \cdot [6 + 18] = 5 \cdot 24 = 120 \)
🎯 Örnek 2:
İlk terimi 5, 15. terimi 45 olan aritmetik dizinin ilk 15 terim toplamını bulalım.
Çözüm:
- \( a_1 = 5 \), \( a_{15} = 45 \), \( n = 15 \)
- \( S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (5 + 45) \)
- \( S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 50 = 15 \cdot 25 = 375 \)
📝 Önemli Noktalar
- ✅ İkinci formül, son terim biliniyorsa daha pratiktir
- ✅ Ortak fark pozitifse dizi artan, negatifse azalandır
- ✅ Formüller sadece aritmetik diziler için geçerlidir
- ✅ Terim sayısını doğru belirlemek çok önemlidir
🔍 Pratik İpucu
Hangi formülü kullanacağınıza karar verirken:
- 💡 Son terim verilmişse → \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)
- 💡 Ortak fark verilmişse → \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1) \cdot d] \)
