Aşağıdan yukarıya düşey atış formülleri

Question

Bu formülleri genelde karıştırıyorum çünkü yerden yukarı atılan cisim için hız ve konum formülleri farklı oluyor. Mesela ilk hız sıfır olmuyor ve cisim çıkarken yavaşlıyor. En çok maksimum yükseklik ve çıkış süresi formüllerini birbirine karıştırıyorum.

Answer 1

📈 Aşağıdan Yukarıya Düşey Atış Formülleri

Merhaba! Bu ders notumuzda, aşağıdan yukarıya düşey atış hareketini ve bu hareketi analiz etmek için kullanılan temel fizik formüllerini detaylıca inceleyeceğiz. Bu konu, sabit ivmeli hareketin en güzel örneklerinden biridir ve temel kinematik bilgilerimizi pekiştirmemizi sağlar.

🎯 Hareketin Tanımı ve Varsayımlar

Bir cisim, yer seviyesinden veya belirli bir yükseklikten, ilk hız (v₀) ile tam düşey yukarı doğru fırlatıldığında yaptığı harekete aşağıdan yukarıya düşey atış denir. Burada:

• ✅ İvme, yer çekimi ivmesidir ve aşağı yönlü olduğu için g = -9.8 m/s² (veya yaklaşık -10 m/s²) alınır.
• ✅ Hava direnci ihmal edilir.
• ✅ Yer çekimi ivmesi sabit kabul edilir.

📊 Temel Formüller ve Açıklamaları

Aşağıdaki formüller, sabit ivmeli hareket denklemlerinden türetilmiştir. t zamanı, h yüksekliği, v hızı ve g yer çekimi ivmesini temsil eder.

⏱ 1. Hız-Zaman İlişkisi

Herhangi bir t anındaki hız, ilk hızdan yer çekiminin neden olduğu hız kaybı çıkarılarak bulunur:

\( v = v_0 - g \cdot t \)\)

• v₀: İlk hız (m/s)
• g: Yer çekimi ivmesi (9.8 m/s²)
• t: Geçen süre (s)
• v: t anındaki hız (m/s)

Not: Cisim en tepe noktaya ulaştığında hızı sıfır (v=0) olur. Bu durum, çıkış süresini hesaplamak için kullanılır.

📐 2. Yer Değiştirme-Zaman İlişkisi (Yükseklik Formülü)

Herhangi bir t anında cismin çıkış yüksekliği (yer değiştirmesi):

\( h = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \)\)

Bu formül, cismin başlangıç noktasına göre konumunu verir. Eğer cisim belirli bir h₀ yüksekliğinden atılıyorsa, toplam yükseklik: \( H = h_0 + v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)\) şeklinde yazılır.

⏳ 3. Çıkış Süresi (t_çıkış)

Cismin en yüksek noktaya (maksimum yüksekliğe) ulaşma süresidir. Tepe noktada hız sıfır olduğu için v = v₀ - g·t = 0 denkleminden bulunur:

\( t_{çıkış} = \frac{v_0}{g} \)\)

🏔 4. Maksimum Yükseklik (h_max)

Cismin ulaşabileceği en yüksek noktadır. Bunu bulmanın iki yolu vardır:

• Yol 1: Çıkış süresini yükseklik formülünde yerine koymak:
  \( h_{max} = v_0 \cdot t_{çıkış} - \frac{1}{2} g \cdot (t_{çıkış})^2 = \frac{v_0^2}{2g} \)\)
• Yol 2: Zamansız hız formülünü kullanmak (v² = v₀² - 2gh, tepe noktada v=0):
  \( 0 = v_0^2 - 2 g h_{max} \Rightarrow h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} \)\)

🔄 5. Havada Kalma Süresi ve İniş Süresi

Cisim atıldığı seviyeye geri döndüğünde net yer değiştirmesi sıfır (h=0) olur (h₀=0 ise).

\( 0 = v_0 \cdot t_{uçuş} - \frac{1}{2} g \cdot t_{uçuş}^2 \)\)
Bu denklemden: \( t_{uçuş} = \frac{2 v_0}{g} = 2 \cdot t_{çıkış} \)\) bulunur.
Yani havada kalma süresi, çıkış süresinin iki katıdır.

📝 Örnek Problem Çözümü (Kısa)

Problem: Yerden 30 m/s ilk hızla düşey yukarı fırlatılan bir top için (g=10 m/s² alınız):
a) Çıkış süresini,
b) Maksimum yüksekliğini,
c) 2. saniyedeki hızını ve yüksekliğini bulunuz.

Çözüm:
a) \( t_{çıkış} = v_0 / g = 30 / 10 = 3 \, s \)
b) \( h_{max} = v_0^2 / (2g) = (30^2) / (2*10) = 900 / 20 = 45 \, m \)
c) t=2s için:
  Hız: \( v = v_0 - g t = 30 - 10*2 = 10 \, m/s \) (yukarı yönlü)
  Yükseklik: \( h = v_0 t - (1/2) g t^2 = 30*2 - 0.5*10*4 = 60 - 20 = 40 \, m \)

💎 Özet ve Pratik İpuçları

• 🔸 Hareketin simetrik olduğunu unutmayın: Çıkış ve iniş süreleri eşittir.
• 🔸 Aynı yükseklikteki hızların büyüklükleri aynı, yönleri zıttır (örneğin, çıkarken +20 m/s, inerken -20 m/s).
• 🔸 Formüllerdeki işaretlere dikkat edin! Genellikle yukarı pozitif, aşağı negatif alınır ve g = -9.8 m/s² yazılır. Bazı kaynaklar sadece büyüklük kullanarak formülleri farklı yazabilir.
• 🔸 Problem çözerken önce verilenleri ve istenenleri yazın, sonra uygun formülü seçin.

Bu formüller, fiziğin temel taşlarındandır. Bol bol pratik yaparak pekiştirmenizi tavsiye ederim. Bir sonraki konumuz "Serbest Düşme" olacak. Görüşmek üzere! 👨‍🏫