🎨 AYT Grafik Analizi: Fonksiyonlarda Dönüşümler ve Grafiklere Etkisi
Fonksiyon grafiklerini anlamak, AYT'de başarılı olmanın anahtarlarından biridir. Grafik dönüşümleri, bir fonksiyonun grafiğini farklı şekillerde değiştirmemizi sağlar. Bu dönüşümleri anlamak, soruları daha hızlı ve kolay çözmemize yardımcı olur.
🍎 Temel Dönüşümler
- 📏 Öteleme: Grafiği yukarı, aşağı, sağa veya sola kaydırmaktır.
- 📐 Yansıma: Grafiği x veya y eksenine göre aynalamaktır.
- 📈 Ölçekleme: Grafiği dikey veya yatay olarak germek veya sıkıştırmaktır.
📐 Öteleme Dönüşümü
Bir fonksiyonun grafiğini ötelemek için şu adımları izleriz:
- ⬆️ Yukarı Öteleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $k$ birim yukarı ötelemek için, $f(x) + k$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu 3 birim yukarı ötelemek için, $x^2 + 3$ fonksiyonunu elde ederiz.
- ⬇️ Aşağı Öteleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $k$ birim aşağı ötelemek için, $f(x) - k$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu 2 birim aşağı ötelemek için, $x^2 - 2$ fonksiyonunu elde ederiz.
- ➡️ Sağa Öteleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $h$ birim sağa ötelemek için, $f(x - h)$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu 1 birim sağa ötelemek için, $(x - 1)^2$ fonksiyonunu elde ederiz.
- ⬅️ Sola Öteleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $h$ birim sola ötelemek için, $f(x + h)$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu 2 birim sola ötelemek için, $(x + 2)^2$ fonksiyonunu elde ederiz.
📐 Yansıma Dönüşümü
Bir fonksiyonun grafiğini yansıtmak için şu adımları izleriz:
- ↔️ x-Eksenine Göre Yansıma: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini x-eksenine göre yansıtmak için, $-f(x)$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu x-eksenine göre yansıtmak için, $-x^2$ fonksiyonunu elde ederiz.
- ↕️ y-Eksenine Göre Yansıma: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini y-eksenine göre yansıtmak için, $f(-x)$ fonksiyonunu elde ederiz. Örneğin, $f(x) = x^3$ fonksiyonunu y-eksenine göre yansıtmak için, $(-x)^3 = -x^3$ fonksiyonunu elde ederiz.
📐 Ölçekleme Dönüşümü
Bir fonksiyonun grafiğini ölçeklemek için şu adımları izleriz:
- ⬆️/⬇️ Dikey Ölçekleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini dikey olarak $a$ kat germek veya sıkıştırmak için, $a \cdot f(x)$ fonksiyonunu elde ederiz. Eğer $a > 1$ ise grafik dikey olarak gerilir, eğer $0 < a < 1$ ise grafik dikey olarak sıkışır. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu dikey olarak 2 kat germek için, $2x^2$ fonksiyonunu elde ederiz.
- ➡️/⬅️ Yatay Ölçekleme: $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini yatay olarak $b$ kat germek veya sıkıştırmak için, $f(bx)$ fonksiyonunu elde ederiz. Eğer $b > 1$ ise grafik yatay olarak sıkışır, eğer $0 < b < 1$ ise grafik yatay olarak gerilir. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunu yatay olarak 2 kat sıkıştırmak için, $(2x)^2 = 4x^2$ fonksiyonunu elde ederiz.
❓ Örnek Soru
$f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun grafiği önce x eksenine göre yansıtılıyor, sonra 2 birim yukarı ve 3 birim sola öteleniyor. Elde edilen yeni fonksiyonun denklemi nedir?
Çözüm:
1. x eksenine göre yansıma: $-\sqrt{x}$
2. 2 birim yukarı öteleme: $-\sqrt{x} + 2$
3. 3 birim sola öteleme: $-\sqrt{x + 3} + 2$
Yeni fonksiyonun denklemi: $g(x) = -\sqrt{x + 3} + 2$
📝 Önemli İpuçları
- ✍️ Dönüşümleri adım adım uygulamak, hataları önlemenize yardımcı olur.
- 📈 Grafikleri çizerek veya zihninizde canlandırarak dönüşümleri daha iyi anlayabilirsiniz.
- ✔️ Bol bol pratik yaparak, farklı fonksiyon türlerindeki dönüşümleri daha kolay uygulayabilirsiniz.
