AYT Matematik: İşçi-Havuz Problemleri ile İlgili Püf Noktalar

Question

AYT Matematik'te işçi-havuz problemleriyle ilgili püf noktaları nelerdir? Bu tarz soruları çözerken nelere dikkat etmeliyim?

Answer 1

🚰 İşçi-Havuz Problemleri Nedir?

İşçi-havuz problemleri, belirli bir işin veya havuzun dolma/boşalma süresinin, çalışan işçi veya musluk sayısına bağlı olarak nasıl değiştiğini hesaplamaya yarayan matematik problemleridir. Bu tür sorular genellikle oran-orantı mantığıyla çözülür.

🛠️ Temel Kavramlar ve Formüller

• ⏱️ İşçi: Bir işi belirli bir sürede bitirebilen kişi veya makine.
• 💧 Havuz: İçine su dolan veya su boşaltılan kap.
• 📊 Hız: Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarı veya bir musluğun birim zamanda akıttığı su miktarı.

Temel Formül: İş = Hız x Zaman

Bu formülü işçi-havuz problemlerine uyarlarsak:

Havuz Problemleri: Havuzun Hacmi = Musluğun Akış Hızı x Dolma/Boşalma Süresi

İşçi Problemleri: Yapılan İş = İşçinin Çalışma Hızı x Çalışma Süresi

💡 Püf Noktaları ve Çözüm Stratejileri

➕ İşçi Sayısı Arttıkça Süre Ne Olur?

İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır. Bu ters orantı vardır. Örneğin, bir işi 2 işçi 10 günde yapıyorsa, 4 işçi aynı işi 5 günde yapar.

➖ Havuz Problemlerinde Dolduran ve Boşaltan Musluklar Varsa Ne Yapılır?

Havuzu dolduran muslukların akış hızları toplanır, boşaltan muslukların akış hızları toplanır. Daha sonra, dolduranların toplam akış hızından boşaltanların toplam akış hızı çıkarılır. Kalan değer, havuzun net dolma hızını verir.

Örneğin: Bir havuzu bir musluk 12 saatte dolduruyor, başka bir musluk aynı havuzu 18 saatte boşaltıyor. İkisi birlikte açıldığında havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Dolduran musluğun hızı $\frac{1}{12}$, boşaltan musluğun hızı $\frac{1}{18}$. İkisi birlikte açıldığında net hız $\frac{1}{12} - \frac{1}{18} = \frac{3-2}{36} = \frac{1}{36}$. Yani havuz 36 saatte dolar.

🧮 Kesirlerle Uğraşmak Yerine Ne Yapılabilir?

İşçi ve havuz problemlerinde, işin tamamını veya havuzun tamamını 1 birim olarak kabul etmek yerine, paydaların ortak katı olan bir sayı seçmek işleri kolaylaştırır. Örneğin, bir işçi bir işi 1/3'ünü bir günde yapıyorsa ve diğer işçi aynı işin 1/4'ünü bir günde yapıyorsa, işin tamamını 12 birim olarak düşünebiliriz.

🤝 İş Birlikteliği Nasıl Hesaplanır?

İki veya daha fazla işçi birlikte çalıştığında, hızları toplanır. Örneğin, Ali bir işi 8 günde, Ayşe aynı işi 12 günde yapıyorsa, ikisi birlikte bu işi kaç günde yapar?

Çözüm: Ali'nin hızı $\frac{1}{8}$, Ayşe'nin hızı $\frac{1}{12}$. İkisinin birlikte hızı $\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3+2}{24} = \frac{5}{24}$. Yani işi $\frac{24}{5}$ günde yaparlar.

✍️ Örnek Soru Çözümü

Bir işi Ali tek başına 20 günde, Veli tek başına 30 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte 5 gün çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Kalan işi Veli kaç günde bitirir?

Çözüm:

• 🎯 Ali'nin hızı: $\frac{1}{20}$
• 🎯 Veli'nin hızı: $\frac{1}{30}$
• 🎯 İkisinin birlikte hızı: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$
• 🎯 5 günde yaptıkları iş: $5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$
• 🎯 Kalan iş: $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
• 🎯 Veli'nin kalan işi bitirme süresi: $\frac{7}{12} \div \frac{1}{30} = \frac{7}{12} \cdot 30 = \frac{7 \cdot 5}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$ gün

Cevap: Veli kalan işi 17.5 günde bitirir.