🚀 Türev Nedir?
Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki
anlık değişim hızıdır. Yani, bir eğrinin o noktadaki
eğimini bulmamıza yardımcı olur. Günlük hayatta hızlanan bir arabanın hızını veya bir bitkinin büyüme hızını hesaplamak gibi birçok alanda kullanılır.
- 🚗 Örnek: Bir araba düşünelim. Araba hızlanırken, hızı sürekli değişiyor. Türev, arabanın belirli bir andaki hızını (anlık hızını) bulmamızı sağlar.
- 🌱 Örnek: Bir bitki düşünelim. Bitkinin boyu zamanla uzuyor. Türev, bitkinin belirli bir zamandaki büyüme hızını bulmamızı sağlar.
✍️ Türev Formülleri
İşte en temel türev formülleri:
- 🔢 Sabit Sayının Türevi: Bir sabit sayının türevi her zaman sıfırdır.
$f(x) = c$ ise $f'(x) = 0$
- 📈 x'in Türevi: $x$'in türevi 1'dir.
$f(x) = x$ ise $f'(x) = 1$
- 💪 xⁿ'in Türevi: $x$'in kuvvetinin türevi: kuvvet başa gelir ve kuvvet 1 azalır.
$f(x) = x^n$ ise $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$
- ➕ Toplamın Türevi: İki fonksiyonun toplamının türevi, ayrı ayrı türevlerinin toplamına eşittir.
$f(x) = u(x) + v(x)$ ise $f'(x) = u'(x) + v'(x)$
- ✖️ Çarpımın Türevi: İki fonksiyonun çarpımının türevi: birinci fonksiyonun türevi çarpı ikinci fonksiyon artı ikinci fonksiyonun türevi çarpı birinci fonksiyon.
$f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ise $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
❓ Çözümlü Türev Soruları
Soru 1: $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
$f'(x) = 6x + 2$
Soru 2: $f(x) = (x+1)(x-2)$ fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
$f(x) = x^2 -x -2$
$f'(x) = 2x - 1$
🌀 İntegral Nedir?
İntegral, türevin ters işlemidir. Bir fonksiyonun
altında kalan alanı hesaplamamıza yardımcı olur. Örneğin, bir eğrinin altında kalan alanı veya bir havuzun dolma hızını hesaplamak gibi birçok alanda kullanılır.
- 🏞️ Örnek: Bir nehir düşünelim. Nehrin belirli bir bölgedeki su miktarını (alanını) integral ile hesaplayabiliriz.
- 💧 Örnek: Bir havuz düşünelim. Havuzun dolma hızını biliyorsak, belirli bir sürede ne kadar su dolacağını integral ile hesaplayabiliriz.
✍️ İntegral Formülleri
İşte en temel integral formülleri:
- 🔢 Sabit Sayının İntegrali:
$\int c \, dx = cx + C$ (Burada C, integral sabitidir.)
- 💪 xⁿ'in İntegrali:
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ -1)
- ➕ Toplamın İntegrali:
$\int [u(x) + v(x)] \, dx = \int u(x) \, dx + \int v(x) \, dx$
❓ Çözümlü İntegral Soruları
Soru 1: $\int (2x + 3) \, dx$ integralini bulunuz.
Çözüm:
$\int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C$
Soru 2: $\int x^3 \, dx$ integralini bulunuz.
Çözüm:
$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C$
