🚀 Vektörlere Giriş
Vektörler, hem büyüklüğü (uzunluğu) hem de yönü olan matematiksel nesnelerdir. Fizik, mühendislik ve bilgisayar grafikleri gibi birçok alanda kullanılırlar.
- 📏 Büyüklük (Şiddet): Vektörün uzunluğudur. $| \vec{a} |$ şeklinde gösterilir.
- 🧭 Yön: Vektörün hangi doğrultuda ilerlediğini gösterir.
➕ Vektörel İşlemler
Vektörlerle toplama, çıkarma ve skalerle çarpma gibi işlemler yapılabilir.
➕ Vektörlerde Toplama
İki vektörü toplamak için, vektörlerin başlangıç noktaları aynı olacak şekilde yerleştirilir. Sonra, paralelkenar kuralı veya uç uca ekleme yöntemi kullanılır. $\vec{a} = (x_1, y_1)$ ve $\vec{b} = (x_2, y_2)$ ise, $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ olur.
- 📍 Paralelkenar Yöntemi: Vektörler paralelkenarın kenarları olacak şekilde çizilir, köşegen toplam vektörü verir.
- 🔗 Uç Uca Ekleme Yöntemi: Bir vektörün bitiş noktasına diğer vektörün başlangıç noktası eklenir.
➖ Vektörlerde Çıkarma
$\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{a} + (-\vec{b})$ demektir. Yani, $\vec{b}$ vektörünün yönü ters çevrilerek $\vec{a}$ ile toplanır.
✖️ Skalerle Çarpma
Bir vektörü bir skaler (sayı) ile çarpmak, vektörün büyüklüğünü değiştirir. Eğer skaler pozitifse yön aynı kalır, negatifse yön ters çevrilir. $k$ bir skaler ise, $k \cdot \vec{a} = (k \cdot x_1, k \cdot y_1)$ olur.
📐 Vektörlerin Bileşenleri
Vektörler, genellikle bir koordinat sisteminde bileşenlerine ayrılır. İki boyutlu bir uzayda, bir vektörün $x$ ve $y$ bileşenleri vardır.
- ➡️ x Bileşeni: Vektörün yatay eksendeki izdüşümüdür.
- ⬆️ y Bileşeni: Vektörün dikey eksendeki izdüşümüdür.
Bir $\vec{a}$ vektörü, $\vec{a} = (a_x, a_y)$ şeklinde gösterilir. Vektörün büyüklüğü (uzunluğu) Pisagor teoremi ile bulunur: $| \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.
🎯 Vektörlerde Açı ve Yön
Vektörün yönü, genellikle yatay eksenle (x ekseni) yaptığı açı ile belirtilir. Bu açı, trigonometri kullanılarak bulunabilir.
- 📐 Açı Bulma: $\tan(\theta) = \frac{a_y}{a_x}$ formülü ile açı bulunur. Buradan $\theta = \arctan(\frac{a_y}{a_x})$ olur.
🧮 İç Çarpım (Nokta Çarpımı)
İki vektörün iç çarpımı (nokta çarpımı), skaler bir sonuç verir. $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos(\theta)$ formülü ile hesaplanır. Burada $\theta$, $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ arasındaki açıdır.
- ➕ Özellikleri:
- Eğer $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ise, $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ birbirine diktir.
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (Değişme özelliği)
## ✖️ Dış Çarpım (Vektörel Çarpım)
İki vektörün dış çarpımı (vektörel çarpımı), yeni bir vektör verir. Bu yeni vektör, çarpılan iki vektöre de diktir. $\vec{a} \times \vec{b}$ şeklinde gösterilir.
- ➕ Özellikleri:
- $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ (Değişme özelliği yoktur)
- Dış çarpımın büyüklüğü, paralelkenarın alanını verir. $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin(\theta)$
