📏 Basit Harmonik Hareket (BHH) Nedir?
Basit Harmonik Hareket, dengenin etrafında periyodik olarak tekrarlanan ve yer değiştirmeye zıt yönde bir kuvvetin etkisi altında gerçekleşen harekettir. Bu hareketin en temel özelliği, geri çağırıcı kuvvetin yer değiştirme ile doğru orantılı olmasıdır.
🔑 Temel Kavramlar ve Denklemler
- ✅ Geri Çağırıcı Kuvvet (F): Cismi denge konumuna getirmeye çalışan, yer değiştirme (x) ile orantılı kuvvettir. \( F = -k \cdot x \) formülü ile ifade edilir. Burada "k" yay sabiti, "-" işareti ise kuvvetin yer değiştirmeye zıt yönde olduğunu belirtir.
- ✅ Yer Değiştirme (x): Cismin denge konumundan olan anlık uzaklığıdır. \( x = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) \) veya \( x = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \) şeklinde ifade edilir.
- ✅ Genlik (A): Cismin denge konumundan maksimum uzaklığıdır.
- ✅ Açısal Frekans (\(\omega\)): \( \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \) formülü ile bulunur. Birimi rad/s'dir.
- ✅ Periyot (T): Hareketin bir tam tur (osilasyon) yapması için geçen süredir. Yay-sarkaç için \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), basit sarkaç için \( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \) formülü ile hesaplanır.
- ✅ Frekans (f): Birim zamandaki tam tur sayısıdır. \( f = \frac{1}{T} \) ile bulunur.
- ✅ Faz Açısı (\(\phi_0\)): Hareketin başlangıç anındaki konumunu belirleyen açıdır.
📈 BHH'de Hız ve İvme
- ➡️ Hız (v): Yer değiştirme denkleminin zamana göre türevidir.
\( v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \)
Hızın büyüklüğü: \( |v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \)
- ➡️ İvme (a): Hız denkleminin zamana göre türevi veya kuvvet denkleminden bulunur.
\( a = \frac{dv}{dt} = -\omega^2 A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) \)
Bu, \( a = -\omega^2 \cdot x \) şeklinde de yazılabilir. İvme her zaman yer değiştirmeye zıt yöndedir ve denge konumunda sıfır, uç noktalarda maksimum değerini alır.
💡 BHH'nin Özellikleri
- 🎯 Hareket periyodik ve sinüzoidaldir.
- 🎯 Geri çağırıcı kuvvet, yer değiştirme ile doğru orantılıdır.
- 🎯 Denge konumunda hız maksimum, ivme sıfırdır.
- 🎯 Uç noktalarda (x = ±A) hız sıfır, ivme maksimumdur.
- 🎯 Toplam mekanik enerji (Kinetik + Potansiyel) korunur.
⚖️ BHH'de Enerji
- 📌 Toplam Enerji (Etoplam): Sabittir ve \( E_{toplam} = \frac{1}{2}kA^2 \) formülü ile hesaplanır.
- 📌 Potansiyel Enerji (Ep): \( E_p = \frac{1}{2}kx^2 \)
- 📌 Kinetik Enerji (Ek): \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2) \)
Enerjinin bir türden diğerine dönüşümü sürekli olarak gerçekleşir, ancak toplam enerji daima sabit kalır.
🎯 Örnek: Yay ve Kütle Sistemi
Yay sabiti \( k = 100 \, N/m \) olan bir yayın ucuna \( m = 1 \, kg \) kütleli bir cisim bağlanmış ve 0.1 m genlikle salınıma bırakılmıştır.
- ➡️ Açısal Frekans: \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10 \, rad/s \)
- ➡️ Periyot: \( T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = 0.628 \, s \)
- ➡️ Maksimum Hız: \( v_{maks} = A\omega = 0.1 \cdot 10 = 1 \, m/s \)
- ➡️ Maksimum İvme: \( a_{maks} = A\omega^2 = 0.1 \cdot 100 = 10 \, m/s^2 \)
- ➡️ Toplam Enerji: \( E_{toplam} = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.1)^2 = 0.5 \, J \)
📚 Özet
- ✨ BHH, geri çağırıcı kuvvetin (\( F = -kx \)) etkisiyle oluşan periyodik bir harekettir.
- ✨ Yer değiştirme, hız ve ivme sinüzoidal fonksiyonlarla ifade edilir.
- ✨ Periyot, sistemin kendine özgü bir özelliğidir ve genlikten bağımsızdır.
- ✨ Enerji, kinetik ve potansiyel enerji arasında sürekli dönüşür, ancak toplam enerji korunur.
