# 🧮 Bileşke Fonksiyon (f∘g)(x) Nedir? – Ders Notu
📚 Konu: Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi
Bu ders notunda, bileşke fonksiyon kavramını, matematiksel tanımını, özelliklerini ve çözümlü örneklerle nasıl işlem yapıldığını öğreneceğiz. Bileşke fonksiyon, fonksiyonlar konusunun temel taşlarından biridir ve ileri matematik konularında sıkça karşımıza çıkar.
🎯 Temel Tanım: Bileşke Fonksiyon Ne Demektir?
İki fonksiyonun ardışık olarak uygulanmasıyla elde edilen yeni fonksiyona bileşke fonksiyon denir. f ve g iki fonksiyon olmak üzere, “f bileşke g” fonksiyonu (f∘g)(x) = f(g(x)) şeklinde gösterilir ve tanımlanır.
Yani, önce g fonksiyonu x değeri için hesaplanır, çıkan sonuç f fonksiyonuna girdi olarak verilir. Bu işlemin sonucu (f∘g)(x) değerini verir.
🔍 Matematiksel Gösterim ve Okunuş
- 👉 (f∘g)(x) → “f bileşke g of x” veya “f altı g” şeklinde okunur.
- 👉 (g∘f)(x) → “g bileşke f of x” (Önce f, sonra g uygulanır).
- ⚠️ UYARI: Bileşke işleminde sıra önemlidir. Genellikle (f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x) olur.
📝 Bileşke Fonksiyonun Formülü ve Adımları
İki fonksiyonumuz:
- \( f(x) = 2x + 3 \)
- \( g(x) = x^2 - 1 \)
(f∘g)(x)’i bulmak için:
- 📌 1. Adım: \( g(x) \) hesaplanır: \( g(x) = x^2 - 1 \)
- 📌 2. Adım: Bulunan \( g(x) \) değeri, \( f \) fonksiyonundaki \( x \) yerine yazılır:
\[
f(g(x)) = 2 \cdot (x^2 - 1) + 3
\]
- 📌 3. Adım: Düzenleme yapılır:
\[
f(g(x)) = 2x^2 - 2 + 3 = 2x^2 + 1
\]
Sonuç: \( (f∘g)(x) = 2x^2 + 1 \)
🔄 Ters İşlem: (g∘f)(x) Nasıl Bulunur?
Aynı fonksiyonlar için (g∘f)(x)’i hesaplayalım:
- \( f(x) = 2x + 3 \)
- \( g(f(x)) = (2x + 3)^2 - 1 \)
- \[
= 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 8
\]
Görüldüğü gibi \( (f∘g)(x) \neq (g∘f)(x) \).
⚙️ Bileşke Fonksiyonun Önemli Özellikleri
- ✅ Birleşme Özelliği: \( (f∘(g∘h))(x) = ((f∘g)∘h)(x) \) → Sıra korunarak gruplama değişebilir.
- ❌ Değişme Özelliği Yoktur: Genelde \( f∘g \neq g∘f \).
- 🆔 Birim (Etkisiz) Fonksiyon: \( I(x) = x \) ise, her \( f \) için \( (f∘I)(x) = (I∘f)(x) = f(x) \) olur.
- 🔗 Ters Fonksiyon İlişkisi: \( f \) ve \( f^{-1} \) ters fonksiyonlarsa, \( (f∘f^{-1})(x) = (f^{-1}∘f)(x) = I(x) = x \) olur.
🎓 Pratik Çözümlü Örnek
Soru: \( f(x) = \sqrt{x+1} \) ve \( g(x) = 3x - 5 \) ise \( (f∘g)(4) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
- \( g(4) = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7 \)
- \( f(g(4)) = f(7) = \sqrt{7 + 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
Cevap: \( 2\sqrt{2} \)
💡 Özet ve Anahtar Bilgiler
- ✨ Bileşke fonksiyon, iki fonksiyonun ardışık uygulanmasıdır.
- ✨ Sembolü: \( (f∘g)(x) = f(g(x)) \)
- ✨ İşlem sırası sağdan sola doğru okunur: önce \( g \), sonra \( f \).
- ✨ Değişme özelliği yoktur, birleşme özelliği vardır.
- ✨ Gerçek hayatta, birden fazla işlemin sıralı uygulandığı durumları modellemek için kullanılır.
Bu konuyu iyi anlamak için bolca alıştırma yapmak ve farklı fonksiyon türleri (lineer, ikinci dereceden, mutlak değer, rasyonel) ile bileşke oluşturmayı denemek faydalı olacaktır. 🚀
