📐 Binom Açılımında Sabit Terim Nasıl Bulunur?
Binom açılımında sabit terimi bulmak için öncelikle binom açılımının genel terim formülünü bilmemiz gerekir. Bu formülü kullanarak, değişken içermeyen (yani sabit) terimi bulabiliriz.
🎯 Binom Açılımının Genel Terimi
\((a + b)^n\) ifadesinin açılımındaki genel terim:
\(T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k\)
Burada \(k = 0, 1, 2, ..., n\) değerlerini alır.
🔍 Sabit Terim Nedir?
Sabit terim, değişken içermeyen terimdir. Yani terimin derecesi 0 olmalıdır.
📝 Sabit Terim Bulma Adımları
- ✅ 1. Adım: Binom ifadesini \((a + b)^n\) formunda yazın
- ✅ 2. Adım: Genel terim formülünü yazın: \(T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k\)
- ✅ 3. Adım: \(a\) ve \(b\)'yi yerine koyun
- ✅ 4. Adım: Değişkenlerin üslerini toplayıp 0'a eşitleyin
- ✅ 5. Adım: Denklemi çözerek \(k\) değerini bulun
- ✅ 6. Adım: Bulduğunuz \(k\) değerini genel terimde yerine koyun
🧮 Örnek 1: Basit Binom
\((x + \frac{1}{x})^6\) ifadesinin sabit terimini bulalım:
- 📌 \(a = x\), \(b = \frac{1}{x}\), \(n = 6\)
- 📌 Genel terim: \(T_{k+1} = \binom{6}{k} \cdot x^{6-k} \cdot (\frac{1}{x})^k\)
- 📌 \(T_{k+1} = \binom{6}{k} \cdot x^{6-k} \cdot x^{-k} = \binom{6}{k} \cdot x^{6-2k}\)
- 📌 Sabit terim için üs 0 olmalı: \(6 - 2k = 0\)
- 📌 \(2k = 6\) ⇒ \(k = 3\)
- 📌 \(T_{3+1} = \binom{6}{3} \cdot x^{6-6} = \binom{6}{3} \cdot x^0 = 20 \cdot 1 = 20\)
Sonuç: Sabit terim 20'dir.
🧮 Örnek 2: Karmaşık Binom
\((2x^2 - \frac{1}{x})^8\) ifadesinin sabit terimini bulalım:
- 📌 \(a = 2x^2\), \(b = -\frac{1}{x}\), \(n = 8\)
- 📌 Genel terim: \(T_{k+1} = \binom{8}{k} \cdot (2x^2)^{8-k} \cdot (-\frac{1}{x})^k\)
- 📌 \(T_{k+1} = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{16-2k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-k}\)
- 📌 \(T_{k+1} = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{16-3k}\)
- 📌 Sabit terim için üs 0 olmalı: \(16 - 3k = 0\)
- 📌 \(3k = 16\) ⇒ \(k = \frac{16}{3}\)
- 📌 \(k\) tam sayı olmadığı için sabit terim yoktur
💡 Önemli Noktalar
- ⭐ Sabit terim için değişkenin üssü 0 olmalıdır
- ⭐ Bulduğunuz \(k\) değeri tam sayı değilse sabit terim yoktur
- ⭐ \(k\) değeri 0 ile \(n\) arasında olmalıdır
- ⭐ Katsayıları unutmayın! (\(2^{8-k}\), \((-1)^k\) gibi)
🎓 Pratik İpucu
Sabit terim bulmak için şu formülü kullanabilirsiniz:
Sabit terim = Binom ifadesindeki \(x\) yerine 0 yazıldığında elde edilen değer
Ancak bu yöntem sadece tüm ifadenin sabit terimini verir, belirli bir terimin katsayısını bulmak için genel terim yöntemi daha güvenilirdir.
