Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Denklemlerdeki gibi dengelemeye çalışıyorum ama eşitsizlik olduğu için işaretin yönü kafamı karıştırıyor. Grafik üzerinde göstermek de ayrıca zor geliyor, hangi tarafın taranacağını karıştırıyorum.

Answer 1

📊 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler, genellikle \( ax + by + c < 0 \), \( ax + by + c > 0 \), \( ax + by + c \leq 0 \) veya \( ax + by + c \geq 0 \) şeklinde yazılabilen ifadelerdir. Burada \( a \), \( b \) ve \( c \) gerçek sayılar olup, \( a \) ve \( b \) aynı anda sıfır olamaz.

🎯 Temel Kavramlar

• ➗ Eşitsizlik: İki ifade arasındaki büyüklük-küçüklük ilişkisini gösterir.
• 📈 Birinci Dereceden: Değişkenlerin (\( x \) ve \( y \)) kuvvetleri 1'dir.
• 🧮 İki Bilinmeyenli: Denklemde \( x \) ve \( y \) olmak üzere iki değişken vardır.

✏️ Çözüm Yöntemi

Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümesi, koordinat düzleminde bir bölge olarak gösterilir. Çözüm adımları şu şekildedir:

1. 📌 Denklemi Çiz: Önce eşitsizlikteki "\( <, >, \leq, \geq \)" sembolünü "\( = \)" ile değiştirip doğru denklemini elde edin ve bu doğruyu koordinat düzlemine çizin.
   • Eşitsizlik \( \leq \) veya \( \geq \) ise, doğru kesikli olmayan (düz) çizgi ile çizilir (doğru da çözüme dahildir).
   • Eşitsizlik \( < \) veya \( > \) ise, doğru kesikli çizgi ile çizilir (doğru çözüme dahil değildir).
2. 🎨 Bölgeyi Belirle: Doğru, düzlemi iki yarım düzleme ayırır. Eşitsizliği sağlayan bölgeyi bulmak için doğru üzerinde olmayan herhangi bir noktayı (genellikle \((0,0)\) noktası kolaydır) eşitsizlikte yerine koyun.
   • Nokta eşitsizliği sağlıyorsa, o noktanın bulunduğu yarım düzlem çözüm bölgesidir.
   • Nokta eşitsizliği sağlamıyorsa, diğer yarım düzlem çözüm bölgesidir.
3. 🖍️ Bölgeyi Tarayın: Çözüm bölgesini belirlemek için o bölgeyi tarayın veya gölgelendirin.

🧩 Örnek: \( 2x + y - 4 > 0 \) Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

1. ➡️ Önce \( 2x + y - 4 = 0 \) doğrusunu çizelim.
   • \( x = 0 \) için \( y = 4 \) → \((0,4)\) noktası
   • \( y = 0 \) için \( x = 2 \) → \((2,0)\) noktası
   Bu iki noktayı birleştirerek doğruyu çizeriz. Eşitsizlik "\( > \)" olduğu için doğruyu kesikli çizgi ile çizeriz.
2. ➡️ Şimdi bir test noktası seçelim. \((0,0)\) noktasını deneyelim:
   • \( 2(0) + (0) - 4 > 0 \)
   • \( -4 > 0 \) → Yanlış!
   Demek ki \((0,0)\) noktasının olduğu bölge çözüm değil. O halde çözüm bölgesi, doğrunun diğer tarafındaki yarım düzlemdir.
3. ➡️ Çözüm bölgesini, doğrunun \((0,0)\) noktasının olmadığı tarafında ve kesikli çizginin üstü hariç olacak şekilde tararız.

💡 Önemli Noktalar

• ✅ Eşitsizlikte "=" işareti varsa (≤ veya ≥), doğru da çözüme dahildir ve düz çizgi ile gösterilir.
• ✅ Test noktası olarak doğru üzerinde olmayan herhangi bir nokta seçilebilir. \((0,0)\) noktası kolaylık sağlar, ancak doğru orijinden geçiyorsa \((1,0)\) veya \((0,1)\) gibi başka bir nokta seçilmelidir.
• ✅ Bir eşitsizlik sisteminin çözümü, tüm eşitsizliklerin çözüm bölgelerinin kesişim bölgesidir.