# 📚 Ders Notu: Çarpımın Türevi (Leibniz Kuralı)
🎯 Konu: İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi
Matematiksel analizin temel konularından biri olan türev alma kuralları arasında, çarpımın türevi kuralı (diğer adıyla Leibniz Kuralı) önemli bir yer tutar. Bu kural, iki fonksiyonun çarpım şeklinde birleşmesi durumunda türevin nasıl alınacağını sistematik olarak gösterir.
📖 Temel Tanım ve Formül
u(x) ve v(x) reel değişkenli, türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle verilir:
\( \frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
Bu formülü şu şekilde ifade edebiliriz: "Birinci fonksiyonun türevi çarpı ikinci fonksiyon" artı "birinci fonksiyon çarpı ikinci fonksiyonun türevi".
🔍 Kuralın Mantığı ve İspatı (Özet)
Çarpımın türevi kuralı, türevin limit tanımından türetilebilir:
\( \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \)
Pay kısmına \( u(x+h)v(x) - u(x+h)v(x) \) ekleyip çıkararak (ki bu sıfıra eşittir) ve limit özelliklerini kullanarak formüle ulaşılır.
📝 Örnek Uygulamalar
✨ Örnek 1: Temel Uygulama
Problem: \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
- \( u(x) = x^2 \) → \( u'(x) = 2x \)
- \( v(x) = \sin(x) \) → \( v'(x) = \cos(x) \)
- Formülü uygularsak: \( f'(x) = (2x) \cdot \sin(x) + (x^2) \cdot \cos(x) \)
- Sonuç: \( f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x) \)
✨ Örnek 2: Üç Fonksiyonun Çarpımı
Üç fonksiyonun çarpımı için kural genişletilebilir:
\( \frac{d}{dx}[u \cdot v \cdot w] = u'vw + uv'w + uvw' \)
Problem: \( f(x) = x \cdot e^x \cdot \ln(x) \) türevini bulunuz.
Çözüm:
- \( u = x \) → \( u' = 1 \)
- \( v = e^x \) → \( v' = e^x \)
- \( w = \ln(x) \) → \( w' = \frac{1}{x} \)
- \( f'(x) = (1)(e^x)(\ln x) + (x)(e^x)(\ln x) + (x)(e^x)(\frac{1}{x}) \)
- Sonuç: \( f'(x) = e^x\ln x + xe^x\ln x + e^x \)
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
- ❌ Hata: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v' \) şeklinde düşünmek (DOĞRU DEĞİL!)
- ✅ Doğrusu: Yukarıda verilen toplam formülünü kullanmak
- ❌ Hata: Fonksiyonları çarpmadan önce türev almaya çalışmak
- ✅ Doğrusu: Önce çarpımın türevi kuralını uygulamak
🎓 Önemli Uygulama Alanları
- 📈 Ekonomi: Marjinal maliyet ve gelir hesaplamaları
- ⚛️ Fizik: Hareket denklemlerinde hız ve ivme ilişkileri
- 🔬 Mühendislik: Sistem modellerinde transfer fonksiyonları
- 💻 Bilgisayar bilimi: Gradyan hesaplamaları ve optimizasyon algoritmaları
📊 Alıştırma Soruları
- \( f(x) = (3x+2)(x^2-4) \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
- \( g(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x) \) için \( g'(\frac{\pi}{4}) \) değerini hesaplayınız.
- \( h(x) = e^{2x} \cdot \ln(5x) \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Not: Çarpımın türevi kuralı, zincir kuralı ve bölümün türevi kuralı ile birlikte türev alma işlemlerinin temel taşlarından biridir. Bu kuralı iyi öğrenmek, daha karmaşık fonksiyonların türevlerini alabilmek için kritik öneme sahiptir.
