cos(x) fonksiyonunun türevi

Question

Cos(x)'in türevini bulurken nerede eksi işareti gelecek karıştırıyorum. Sin(x)'in türevi cos(x) oluyor ama cos(x)'in türevi -sin(x) oluyor. Bu eksi işaretini neden alıyoruz, formülü ezberlemek dışında mantığını tam oturtamadım.

Answer 1

📘 cos(x) Fonksiyonunun Türevi

Trigonometrik fonksiyonların türevlerini anlamak, matematikte önemli bir konudur. Bu bölümde, cos(x) fonksiyonunun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

🎯 Temel Kural

cos(x) fonksiyonunun türevi -sin(x)'tir. Bu, temel bir türev kuralıdır ve şu şekilde ifade edilir:

\( \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x) \)

🔍 İspatı

Bu kuralı, türevin limit tanımını kullanarak ispatlayabiliriz:

\( \frac{d}{dx} [\cos(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} \)

Trigonometrik özdeşliklerden cos(x+h) = cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) olduğunu biliyoruz. Bunu yerine koyalım:

\( = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h) - \cos(x)}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h) - 1) - \sin(x)\sin(h)}{h} \)

\( = \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} - \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} \)

Limit değerlerini biliyoruz: \( \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \) ve \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \).

Bu değerleri yerine koyarsak:

\( = \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 = -\sin(x) \)

✅ Böylece, \( \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x) \) olduğunu ispatlamış olduk.

💡 Örnekler

Aşağıda, cos(x) fonksiyonunun türevi ile ilgili bazı örnekler bulunmaktadır:

• 📌 Örnek 1: \( f(x) = \cos(x) \) ise, \( f'(x) = -\sin(x) \)
• 📌 Örnek 2: \( g(x) = 5\cos(x) \) ise, \( g'(x) = 5 \cdot (-\sin(x)) = -5\sin(x) \)
• 📌 Örnek 3: \( h(x) = \cos(3x) \) ise, zincir kuralını uygularız: \( h'(x) = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x) \)
• 📌 Örnek 4: \( y = x^2 \cos(x) \) ise, çarpım kuralını uygularız: \( y' = 2x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot (-\sin(x)) = 2x\cos(x) - x^2\sin(x) \)

📚 Zincir Kuralı ile Kullanımı

Eğer cos(u) şeklinde bir fonksiyonumuz varsa ve u, x'in bir fonksiyonu ise, zincir kuralını uygulayarak türev alırız:

\( \frac{d}{dx} [\cos(u)] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx} \)

• ➡️ Örnek: \( y = \cos(4x) \) için \( u = 4x \) ve \( \frac{du}{dx} = 4 \) olur. \( y' = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x) \)

🎓 Hatırlatma

Trigonometrik fonksiyonların türevlerini doğru uygulayabilmek için temel kuralları iyi bilmek gerekir. cos(x) fonksiyonunun türevinin -sin(x) olduğunu unutmayın!