cosinüs teoremi örnekleri

Question

Cosinüs teoremiyle ilgili örnek soruları çözerken takılıyorum. Özellikle hangi durumlarda bu teoremi kullanacağımı ve formülü nasıl uygulayacağımı tam olarak kestiremiyorum. Bir de, farklı tipteki sorularda nelere dikkat etmem gerektiğini anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

📐 Cosinüs Teoremi Nedir?

Cosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eden temel bir trigonometri kuralıdır. Özellikle, bir üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa, herhangi bir açısının ölçüsü bu teorem yardımıyla bulunabilir. Aynı şekilde, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa, üçüncü kenarın uzunluğu hesaplanabilir.

Teoremin formülü şöyledir:

a² = b² + c² - 2bc * cos(A)

Burada:

• 📏 a, b, c: Üçgenin kenar uzunluklarını,
• 🧮 A: a kenarının karşısındaki açıyı temsil eder.

📚 Cosinüs Teoremi Örnekleri

📌 Örnek 1: Kenar Uzunlukları Bilinen Üçgen

Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 7 cm, ve c = 8 cm olan bir üçgenin A açısını bulunuz.

1. 📝 Formülü Uygula:

   5² = 7² + 8² - 2 * 7 * 8 * cos(A)

2. ➕ Hesaplama:

   25 = 49 + 64 - 112 * cos(A)

   -88 = -112 * cos(A)

   cos(A) = 88 / 112 ≈ 0.7857

3. 📐 Açıyı Bul:

   A = arccos(0.7857) ≈ 38.21°

📌 Örnek 2: İki Kenar ve Aralarındaki Açı Bilinen Üçgen

b = 10 cm, c = 12 cm ve A = 60° olan bir üçgenin a kenar uzunluğunu bulunuz.

1. 📝 Formülü Uygula:

   a² = 10² + 12² - 2 * 10 * 12 * cos(60°)

2. ➕ Hesaplama:

   a² = 100 + 144 - 240 * 0.5

   a² = 244 - 120

   a² = 124

3. 📐 Kenarı Bul:

   a = √124 ≈ 11.14 cm

📌 Örnek 3: Uygulama - Arazi Ölçümü

Bir arazi parselinin iki kenarı sırasıyla 50 metre ve 70 metre uzunluğundadır. Bu iki kenar arasındaki açı 45°'dir. Parselin üçüncü kenarının uzunluğunu bulunuz.

1. 📝 Formülü Uygula:

   a² = 50² + 70² - 2 * 50 * 70 * cos(45°)

2. ➕ Hesaplama:

   a² = 2500 + 4900 - 7000 * (√2 / 2)

   a² ≈ 7400 - 4949.75

   a² ≈ 2450.25

3. 📐 Kenarı Bul:

   a ≈ √2450.25 ≈ 49.50 metre

💡 Cosinüs Teoreminin Kullanım Alanları

• 🧭 Navigasyon: Gemilerin ve uçakların konumlarını belirlemede.
• 📐 Mühendislik: Köprüler ve binalar gibi yapıların tasarımında.
• 🗺️ Haritacılık: Arazi ölçümlerinde ve harita çiziminde.
• 🎮 Oyun Geliştirme: 3D grafiklerde ve fizik simülasyonlarında.