Devirli ondalık sayı formülü (Rasyonel sayıya çevirme)

Question

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken hangi formülü kullanmam gerektiğini tam anlayamadım. Pay ve paydayı nasıl yazacağım konusunda kafam karıştı, özellikle devretmeyen kısım olduğunda formül değişiyor mu?

Answer 1

📐 Devirli Ondalık Sayılar ve Rasyonel Sayıya Çevirme

Devirli ondalık sayılar, ondalık kısmında belirli bir rakam veya rakam grubunun sonsuz kez tekrar ettiği sayılardır. Örneğin, \( 0,\overline{3} \) sayısı 0,333... şeklinde devam eder. Bu tür sayıları rasyonel sayıya (kesirli ifadeye) çevirmek için bir formül kullanırız.

🎯 Temel Formül

Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

\( a,b\overline{c} = \frac{abc - ab}{9...0} \)

🔍 Formülün Açıklaması

• ✅ Tam kısım: Sayının virgülden önceki kısmı
• ✅ Devretmeyen kısım: Virgülden sonra devir çizgisi öncesi gelen rakamlar
• ✅ Devreden kısım: Devir çizgisi altındaki tekrar eden rakamlar

📝 Formül Uygulama Adımları

1. 💡 Sayıyı iki farklı şekilde yaz: birinde devirli, diğerinde devirsiz
2. 💡 İki ifadeyi birbirinden çıkar
3. 💡 Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 ekle
4. 💡 Sadeleştirerek en sade hale getir

🧮 Örnekler

📌 Örnek 1: \( 0,\overline{3} \)

Sayıyı x olarak alalım:

\( x = 0,\overline{3} \)

Devreden 1 basamak olduğu için 10 ile çarpalım:

\( 10x = 3,\overline{3} \)

İki denklemi taraf tarafa çıkaralım:

\( 10x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3} \)

\( 9x = 3 \)

\( x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

Sonuç: \( 0,\overline{3} = \frac{1}{3} \)

📌 Örnek 2: \( 0,\overline{27} \)

\( x = 0,\overline{27} \)

Devreden 2 basamak olduğu için 100 ile çarpalım:

\( 100x = 27,\overline{27} \)

İki denklemi çıkaralım:

\( 100x - x = 27,\overline{27} - 0,\overline{27} \)

\( 99x = 27 \)

\( x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \)

Sonuç: \( 0,\overline{27} = \frac{3}{11} \)

📌 Örnek 3: \( 2,1\overline{6} \)

\( x = 2,1\overline{6} \)

Devretmeyen 1 basamak, devreden 1 basamak var:

Önce 10 ile çarpalım: \( 10x = 21,\overline{6} \)

Sonra 100 ile çarpalım: \( 100x = 216,\overline{6} \)

İki denklemi çıkaralım:

\( 100x - 10x = 216,\overline{6} - 21,\overline{6} \)

\( 90x = 195 \)

\( x = \frac{195}{90} = \frac{13}{6} \)

Sonuç: \( 2,1\overline{6} = \frac{13}{6} \)

💎 Özet Formül

Genel formül:

\( a,b\overline{c} = \frac{abc - ab}{990} \) (devreden 2, devretmeyen 1 basamak için)

\( a,\overline{bc} = \frac{abc - a}{99} \) (devreden 2 basamak için)

🚨 Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ⚠️ Devreden basamak sayısı kadar 9 yazılır
• ⚠️ Devretmeyen basamak sayısı kadar 0 eklenir
• ⚠️ Her zaman sonucu sadeleştirmeyi unutmayın
• ⚠️ Pay kısmında tam sayı - devretmeyen kısım çıkarılır