# Dizi Nedir? (Matematik)
📊 Matematikte Dizi Kavramı
Matematikte dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğudur. Diziler, matematiksel analizin temel yapı taşlarından biridir ve genellikle terim adı verilen elemanlardan oluşur.
🎯 Dizilerin Temel Özellikleri
- 📝 Tanım Kümesi: Dizilerin tanım kümesi genellikle doğal sayılar kümesidir (\( \mathbb{N} \))
- 🔢 Terimler: Dizinin her bir elemanına terim denir (\( a_1, a_2, a_3, ..., a_n \))
- ⚡ Genel Terim: Dizinin n. terimini veren formüle genel terim denir (\( a_n \))
- 🔄 Sonsuz/Sonlu: Diziler sonsuz veya sonlu olabilir
🧮 Dizi Türleri
1. Aritmetik Dizi ➕
Aritmetik dizide ardışık terimler arasındaki fark sabittir. Bu sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.
Genel Terim: \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \)
Örnek: 2, 5, 8, 11, 14, ... (ortak fark \( d = 3 \))
2. Geometrik Dizi ✖️
Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki oran sabittir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve \( r \) ile gösterilir.
Genel Terim: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \)
Örnek: 3, 6, 12, 24, 48, ... (ortak çarpan \( r = 2 \))
3. Fibonacci Dizi 🔄
Her terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.
Formül: \( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) (n ≥ 3)
Örnek: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
📈 Dizilerin Yakınsaklığı ve Iraksaklığı
Bir dizinin limiti incelenirken iki temel durum vardır:
- 🎯 Yakınsak Dizi: \( \lim_{n \to \infty} a_n = L \) şeklinde bir L reel sayısı varsa, dizi yakınsaktır
- 🚀 Iraksak Dizi: Dizinin limiti yoksa veya sonsuza gidiyorsa, dizi ıraksaktır
🔍 Dizi Örnekleri
- \( a_n = \frac{1}{n} \) → 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (yakınsak, limit = 0)
- \( a_n = n^2 \) → 1, 4, 9, 16, 25, ... (ıraksak)
- \( a_n = (-1)^n \) → -1, 1, -1, 1, -1, ... (ıraksak)
💡 Dizilerin Uygulama Alanları
- 📊 Finans matematiği (faiz hesaplamaları)
- 🔬 Fizik (hareket denklemleri)
- 💻 Bilgisayar bilimi (algoritma analizi)
- 🏗️ Mühendislik (dalga analizi)
- 📈 İstatistik (veri analizi)
Diziler, matematiksel düşüncenin gelişiminde kritik öneme sahiptir ve daha ileri matematik konularına (seriler, fonksiyonlar, limit) temel oluşturur.
