📐 Doğru Demeti Alanı Nedir?
Doğru demeti, belirli bir noktadan geçen sonsuz sayıda doğrunun oluşturduğu kümedir. Bu doğruların oluşturduğu alanı hesaplamak, özellikle analitik geometri problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Yeni nesil sorularda ise bu kavram, farklı geometrik şekillerle birleştirilerek daha karmaşık ve görsel yorum gerektiren bir hale getirilebilir.
📝 Temel Formüller ve Kavramlar
Doğru demeti alan sorularını çözerken aşağıdaki formülleri ve kavramları bilmek önemlidir:
- 📏 Doğru Denklemi: Genel doğru denklemi $ax + by + c = 0$ şeklindedir.
- 📍 Nokta-Doğru Uzaklığı: Bir $P(x_0, y_0)$ noktasının $ax + by + c = 0$ doğrusuna olan uzaklığı:
$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
- 📐 Açıortay Denklemi: İki doğrunun açıortay denklemleri, doğruların denklemlerinin mutlak değerlerinin oranlanmasıyla bulunur.
- 🌳 Alan Hesaplama: Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. $Alan = \frac{1}{2} \cdot taban \cdot yükseklik$
🎯 Örnek Soru 1:
İki doğrumuz olsun: $d_1: 3x + 4y - 12 = 0$ ve $d_2: 4x - 3y + 12 = 0$. Bu iki doğrunun kesişim noktasından geçen ve eksenlerle sınırlı bir üçgen oluşturan doğruların oluşturduğu alanı bulunuz.
Çözüm:
1.
Doğruların Kesişim Noktası: İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.
$3x + 4y = 12$
$4x - 3y = -12$
Bu denklemleri çözdüğümüzde kesişim noktası $P(0, 3)$ olarak bulunur.
2.
Doğru Demeti Denklemi: $P(0, 3)$ noktasından geçen doğru demeti denklemi:
$y - 3 = m(x - 0) \Rightarrow y = mx + 3$
3.
Eksenleri Kestiği Noktalar:
* $x$ eksenini kestiği nokta: $y = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{m}$
* $y$ eksenini kestiği nokta: $x = 0 \Rightarrow y = 3$
4.
Üçgenin Alanı: Üçgenin alanı:
$Alan = \frac{1}{2} \cdot |-\frac{3}{m}| \cdot |3| = \frac{9}{2|m|}$
Bu alan, $m$ değerine bağlı olarak değişir. Soruda ek bir koşul belirtilmediği sürece, $m$ değeri değiştikçe alan da değişecektir.
🎯 Örnek Soru 2:
$d_1: x + y - 5 = 0$ ve $d_2: x - y + 1 = 0$ doğruları veriliyor. Bu doğruların kesişim noktasından geçen ve $x$ ekseni ile pozitif yönde $45^\circ$ açı yapan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
1.
Doğruların Kesişim Noktası:
$x + y = 5$
$x - y = -1$
Bu denklemleri çözdüğümüzde kesişim noktası $P(2, 3)$ olarak bulunur.
2.
Eğimi Bulma: $x$ ekseni ile pozitif yönde $45^\circ$ açı yapan doğrunun eğimi $tan(45^\circ) = 1$ 'dir.
3.
Doğru Denklemi: $P(2, 3)$ noktasından geçen ve eğimi $1$ olan doğrunun denklemi:
$y - 3 = 1(x - 2) \Rightarrow y = x + 1$
✨ İpuçları ve Püf Noktaları
* 🤔 Soruyu dikkatlice okuyun ve verilen bilgileri doğru anlayın.
* ✏️ Gerekirse şekil çizin. Doğru demetini ve ilgili geometrik şekilleri görselleştirmek, soruyu anlamanıza yardımcı olur.
* ✍️ Temel formülleri ve kavramları hatırlayın.
* 💪 Bol bol pratik yapın. Farklı soru tiplerini çözerek deneyim kazanın.
* 🧠 Analitik düşünme becerilerinizi geliştirin. Yeni nesil sorular genellikle birden fazla kavramın birleşiminden oluşur.
