# 📐 Dönme (Geometri) – Ders Notu
🎯 Dönme Hareketi Nedir?
Geometride dönme (rotasyon), bir şeklin veya noktanın sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açı kadar ve belirli bir yönde (genellikle saat yönü veya saat yönünün tersi) hareket ettirilmesidir. Bu işlem sonucunda şeklin yönü ve konumu değişir, ancak boyutu, şekli ve uzaklık oranları korunur. Bu nedenle dönme, bir izometrik dönüşüm türüdür.
🔄 Dönmenin Temel Öğeleri
- 🎯 Dönme Merkezi (O): Sabit nokta. Şekil bu nokta etrafında döner.
- 📏 Dönme Açısı (θ): Dönme miktarı (derece veya radyan cinsinden).
- 🧭 Dönme Yönü: Saat yönü (-) veya saat yönünün tersi (+).
- 📍 Başlangıç ve Bitiş Noktaları: Dönüşüme uğrayan şekil veya nokta.
📘 Dönme İşleminin Matematiksel İfadesi
Analitik düzlemde, bir P(x, y) noktasının orijin (0,0) etrafında θ açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen P'(x', y') noktasının koordinatları:
🔢 Saat Yönünün Tersine Dönme (Pozitif Açı)
\( x' = x \cdot \cos\theta - y \cdot \sin\theta \)
\( y' = x \cdot \sin\theta + y \cdot \cos\theta \)
🔢 Saat Yönüne Dönme (Negatif Açı)
\( x' = x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta \)
\( y' = -x \cdot \sin\theta + y \cdot \cos\theta \)
🧩 Örnek Uygulama
Örnek: A(3, 4) noktası orijin etrafında saat yönünün tersine 90° döndürülürse yeni koordinatlar nedir?
- θ = 90° ⇒ cos90° = 0, sin90° = 1
- \( x' = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4 \)
- \( y' = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3 \)
- Sonuç: A'(-4, 3)
🌟 Dönmenin Özellikleri
- ✅ Uzunluk korunur: |AB| = |A'B'|
- ✅ Açı korunur: m(∠ABC) = m(∠A'B'C')
- ✅ Alan korunur: Alan(ABC) = Alan(A'B'C')
- ✅ Dönme merkezi sabit kalır.
- ✅ Birleşme özelliği vardır.
- ✅ Dönme tersinirdir. θ açısıyla döndürülmüş bir şekil -θ açısıyla tekrar eski haline getirilebilir.
🌍 Gerçek Hayatta Dönme Örnekleri
- 🌀 Rüzgar gülü, pervane
- 🕐 Akrep ve yelkovanın hareketi
- 🎡 Dönme dolap, lunapark eğlence araçları
- ⚽ Topun havada dönmesi
- 🎨 Mandala ve simetrik sanat eserleri
📚 Önemli Notlar
- Dönme açısı 360°'nin katları olduğunda şekil başlangıç konumuna geri döner.
- 180°'lik dönme, orijine göre simetri ile aynıdır.
- 90° ve 270°'lik dönmelerde koordinatlarda x ve y yer değiştirir, işaret değişikliği olabilir.
- Dönme merkezi orijin dışında bir nokta ise, önce merkez orijine taşınır, dönme uygulanır, sonra merkez tekrar eski yerine getirilir.
📌 Sonuç: Dönme hareketi, geometrik şekillerin konumunu değiştiren ancak temel özelliklerini koruyan güçlü bir dönüşüm türüdür. Mimarlıktan bilgisayar grafiklerine, mekanikten sanata kadar pek çok alanda uygulama bulur.
