eˣ fonksiyonunun türevi

Question

eˣ'nin türevini alırken hep kafam karışıyor. Diğer fonksiyonların türevini alırken üsle falan uğraşıyoruz ama bu fonksiyon neden hep aynı kalıyor? Sanki sihirli bir fonksiyon gibi, türevi yine kendisi oluyor. Bunun mantığını anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

# 📘 Ders Notu: eˣ Fonksiyonunun Türevi

🎯 Konu: Üstel Fonksiyon ve Türevinin İncelenmesi

Bu ders notunda, matematikteki en önemli fonksiyonlardan biri olan doğal üstel fonksiyonun (eˣ) türevini inceleyeceğiz. Bu konu, diferansiyel hesabın temel taşlarından birini oluşturur.

🔍 e Sayısı Nedir?

Matematikte e sayısı (Euler sayısı), yaklaşık değeri \( e \approx 2.71828 \) olan irrasyonel ve transandantal bir sabittir. Doğal logaritmanın tabanıdır ve sürekli bileşik faiz, nüfus artışı, radyoaktif bozunma gibi birçok doğal süreci modellemekte kullanılır.

📈 eˣ Fonksiyonunun Özellikleri

• 🎯 Tüm reel sayılar için tanımlıdır
• 📊 Sürekli ve türevlenebilirdir
• ⚡ Kendi türevi kendisine eşittir
• 📐 \( e^0 = 1 \) noktasından geçer
• 📈 Artan bir fonksiyondur (her zaman pozitif)

🧮 eˣ Fonksiyonunun Türevi

📖 Temel Teorem

eˣ fonksiyonunun türevi kendisine eşittir:

\[ \frac{d}{dx} e^x = e^x \]

🔍 İspat (Limit Tanımı ile)

Türevin limit tanımını kullanarak:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \]

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} \]

\[ f'(x) = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \]

e sayısının tanımı gereği \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \) olduğundan:

\[ f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x \]

🎯 Özel Durumlar ve Kurallar

1. ⛓ Zincir Kuralı Uygulaması

Eğer üs sadece x değilse (bileşke fonksiyon):

\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot u'(x) \]

Örnek: \( f(x) = e^{3x^2} \)

\[ f'(x) = e^{3x^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^2) = e^{3x^2} \cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2} \]

2. 📊 Çarpım ve Bölüm Kuralları

Çarpım kuralı: \( \frac{d}{dx}[e^x \cdot g(x)] = e^x \cdot g(x) + e^x \cdot g'(x) \)

Bölüm kuralı: \( \frac{d}{dx}\left[\frac{e^x}{g(x)}\right] = \frac{e^x \cdot g(x) - e^x \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)

💡 Önemli Uygulamalar

• 🧪 Diferansiyel denklem çözümlerinde
• 📈 Büyüme ve bozunma modellerinde
• ⚡ Elektrik devrelerinde kapasitör ve indüktör davranışı
• 🌡 Isı transferi problemlerinde
• 💰 Finans matematiğinde sürekli bileşik faiz

✅ Alıştırma Soruları

1. \( f(x) = e^{5x} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
2. \( g(x) = x^2 \cdot e^x \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
3. \( h(x) = \frac{e^x}{x+1} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.
4. \( y = e^{\sin x} \) fonksiyonunun türevini bulunuz.

📝 Özet

eˣ fonksiyonu, matematikte türevi kendisine eşit olan tek fonksiyondur (sabit çarpan farkı dışında). Bu özellik, onu diferansiyel denklemler ve matematiksel modellemede vazgeçilmez kılar. Zincir kuralı ile birlikte kullanıldığında, karmaşık üstel ifadelerin türevini kolayca alabiliriz.

📚 Bir sonraki konu: Logaritmik fonksiyonların türevi ve eˣ ile olan ilişkisi.