Eğik atış menzil formülü

Question

Eğik atışta menzil formülünü anlamakta zorlanıyorum. Hocamız formülde neden sin(2θ) kullanıldığını tam kavrayamadım. Ayrıca başlangıç hızı ve yer çekimi ivmesinin menzili nasıl etkilediğini basitçe açıklar mısınız?

Answer 1

📏 Eğik Atış ve Menzil

Eğik atış, fiziğin hareket konusundaki en temel problemlerinden biridir. Bir cismin yer çekimi etkisi altında, yatay ve dikey bileşenlere ayrılmış hareketini inceler. Burada, cismin yatayda aldığı yola, yani menziline odaklanacağız.

🎯 Menzil Nedir?

Menzil, eğik olarak atılan bir cismin yatay düzlemde ulaşabildiği maksimum mesafedir. Yani, atıldığı nokta ile yere düştüğü nokta arasındaki yatay uzaklıktır.

🧮 Menzil Formülü ve Türetilmesi

Bir cisim, başlangıç hızı \( v_0 \) ve yatayla \( \theta \) açısı yapacak şekilde atılsın. Bu hareketi, birbirinden bağımsız iki harekete ayırabiliriz:

• ➡️ Yatay Hareket: Sabit hızlı hareket. Hız bileşeni: \( v_x = v_0 \cdot \cos\theta \)
• ⬆️ Dikey Hareket: Yer çekimi ivmesi (\( g \)) altında düzgün hızlanan hareket. Hız bileşeni: \( v_y = v_0 \cdot \sin\theta \)

Cismin havada kalma süresine uçuş süresi (\( t_{uçuş} \)) diyoruz. Bu süre, dikey hareketten bulunur. Cismin çıkış ve iniş süreleri eşit olduğundan, toplam uçuş süresi:

\( t_{uçuş} = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} \)

Menzil (\( R \)), yatay hız ile uçuş süresinin çarpımına eşittir:

\( R = v_x \cdot t_{uçuş} \)
\( R = (v_0 \cos\theta) \cdot (\frac{2 v_0 \sin\theta}{g}) \)

Trigonometriden \( 2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta) \) olduğunu biliyoruz. Bu eşitliği kullanarak formülü sadeleştirebiliriz:

\( R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \) ✅

İşte bu, eğik atış menzil formülüdür!

💡 Formülü Anlamak ve Yorumlamak

• 🚀 Başlangıç Hızı (\( v_0 \)): Menzil, başlangıç hızının karesiyle doğru orantılıdır. Hızı iki katına çıkarmak, menzili dört katına çıkarır!
• 📐 Açı (\( \theta \)): Menzil, \( \sin(2\theta) \) ifadesine bağlıdır. \( \sin(2\theta) \)'nın maksimum değeri 1'dir ve bu da \( 2\theta = 90^\circ \), yani \( \theta = 45^\circ \) iken gerçekleşir.
• 🌍 Yer Çekimi İvmesi (\( g \)): Menzil, yer çekimi ivmesiyle ters orantılıdır. \( g \) değeri arttıkça (örneğin daha büyük bir gezegende) menzil azalır.

🎯 Önemli Sonuçlar

• 📌 Maksimum Menzil: Bir cisme maksimum menzili verebilmek için onu \( 45^\circ \) açıyla atmalısınız. Bu durumda formül \( R_{maks} = \frac{v_0^2}{g} \) olur.
• 🔄 Tümleyen Açılar: Aynı başlangıç hızıyla atılan ve toplamları \( 90^\circ \) olan iki açı (örneğin \( 30^\circ \) ve \( 60^\circ \)) aynı menzili verir. Çünkü \( \sin(2 \times 30^\circ) = \sin(60^\circ) \) ve \( \sin(2 \times 60^\circ) = \sin(120^\circ) \), ve \( \sin(60^\circ) = \sin(120^\circ) \)'dir.

Örnek: Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, \( 50 \, m/s \)'lik bir hızla \( 30^\circ \) açıyla atılan bir topun menzili nedir? (\( g = 10 \, m/s^2 \))

Çözüm:
Formül: \( R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \)
Değerleri yerine koyalım:
\( R = \frac{(50)^2 \cdot \sin(2 \times 30^\circ)}{10} = \frac{2500 \cdot \sin(60^\circ)}{10} \)
\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
\( R = \frac{2500 \cdot 0.866}{10} = \frac{2165}{10} = 216.5 \, metre \)