Eşit vektörler nedir

Question

İki vektörün eşit kabul edilebilmesi için hem yönlerinin hem de büyüklüklerinin aynı olması gerekiyor. Yani aynı doğrultu üzerinde ve aynı uzunlukta olmalılar. Bu kavramı koordinat düzleminde gösterirken biraz zorlanıyorum.

Answer 1

📐 Eşit Vektörler Nedir?

Vektörler, hem büyüklüğü hem de yönü olan matematiksel nesnelerdir. İki vektörün eşit olabilmesi için belirli koşulları sağlaması gerekir.

🎯 Eşit Vektörlerin Tanımı

İki vektörün eşit olması için aşağıdaki iki temel koşulun aynı anda sağlanması gerekir:

• ✅ Aynı büyüklükte (şiddette) olmalıdırlar.
• ✅ Aynı yöne sahip olmalıdırlar.

Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz: Eğer \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri eşitse, bu \( \vec{a} = \vec{b} \) şeklinde gösterilir.

🧭 Yön ve Doğrultu Farkı

Burada önemli bir ayrıntıyı vurgulamak gerekir:

• ➡️ Doğrultu: Vektörün üzerinde bulunduğu sonsuz çizgiye denir. Örneğin, doğu-batı çizgisi bir doğrultudur.
• ➡️ Yön: Vektörün bu doğrultu üzerinde hangi tarafa baktığını belirtir. Örneğin, doğu yönü veya batı yönü.

Eşit vektörler için hem doğrultu hem de yön aynı olmalıdır. Sadece doğrultuları aynı olan vektörlere paralel vektörler denir, bu onları eşit yapmaz.

📏 Eşit Vektör Örnekleri

Aşağıdaki durumlarda vektörler eşittir:

• 💡 Aynı düzlemde, aynı uzunlukta, aynı yöne bakan ve üst üste çakışan iki vektör.
• 💡 Başlangıç noktaları farklı olsa bile, büyüklükleri ve yönleri aynı olan vektörler. Bu tür vektörlere ötelemeli eş vektörler denir.

Örnek Senaryo 🎲

Bir koordinat sisteminde \( \vec{u} \) vektörü A(1, 2) noktasından B(4, 6) noktasına gitsin. \( \vec{v} \) vektörü de C(0, 0) noktasından D(3, 4) noktasına gitsin.

• \( \vec{u} \) vektörünün bileşenleri: \( (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
• \( \vec{v} \) vektörünün bileşenleri: \( (3-0, 4-0) = (3, 4) \)

Her iki vektörün de bileşenleri aynı olduğu için (\( x \) bileşeni 3, \( y \) bileşeni 4) büyüklükleri ve yönleri aynıdır. Dolayısıyla \( \vec{u} = \vec{v} \) diyebiliriz, başlangıç noktaları farklı olsa bile.

🚫 Eşit OLMAYAN Vektör Örnekleri

• ❌ Büyüklükleri aynı ama yönleri zıt olan vektörler (Bunlar birbirinin negatifidir).
• ❌ Yönleri aynı ama büyüklükleri farklı olan vektörler.
• ❌ Hem büyüklükleri hem de yönleri farklı olan vektörler.

📌 Özet

Eşit vektörler, matematiksel olarak tamamen aynı kabul edilen vektörlerdir. Başlangıç noktalarının aynı olması şart değildir. Önemli olan, onları öteleyerek birbiriyle çakıştırabiliyor olmamızdır. Bu kavram, vektörlerle işlem yapmanın (toplama, çıkarma, skaler çarpım) temelini oluşturur.