Fonksiyonlarda öteleme ve simetri

Question

Bu konuyu anlamakta gerçekten zorlanıyorum. Özellikle fonksiyonun grafiğini sağa sola kaydırırken denkleminin nasıl değiştiğini karıştırıyorum. Bir de simetri konusunda fonksiyonun orijine veya y eksenine göre simetrik olup olmadığını nasıl anlayacağımı tam oturtamadım.

Answer 1

📐 Fonksiyonlarda Öteleme ve Simetri

Fonksiyonların grafikleri üzerinde çeşitli dönüşümler yapabiliriz. Bu dönüşümlerden en önemlileri öteleme ve simetri işlemleridir. Bu konuyu adım adım inceleyelim.

➡️ Fonksiyonlarda Öteleme

Bir fonksiyonun grafiğini koordinat sisteminde sağa, sola, yukarı veya aşağı kaydırmaya öteleme denir.

📌 Yatay Öteleme (Sağa-Sola Kaydırma)

• 🎯 Sağa Kaydırma: Bir fonksiyonu \( c \) birim sağa kaydırmak için fonksiyonda \( x \) yerine \( (x - c) \) yazılır.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = f(x - c) \)
• 🎯 Sola Kaydırma: Bir fonksiyonu \( c \) birim sola kaydırmak için fonksiyonda \( x \) yerine \( (x + c) \) yazılır.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = f(x + c) \)

💡 Örnek: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım.
➡️ 3 birim sağa kaydırırsak: \( g(x) = f(x - 3) = (x - 3)^2 \)
➡️ 2 birim sola kaydırırsak: \( h(x) = f(x + 2) = (x + 2)^2 \)

📌 Dikey Öteleme (Yukarı-Aşağı Kaydırma)

• 🎯 Yukarı Kaydırma: Bir fonksiyonu \( c \) birim yukarı kaydırmak için fonksiyonun tamamına \( c \) eklenir.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = f(x) + c \)
• 🎯 Aşağı Kaydırma: Bir fonksiyonu \( c \) birim aşağı kaydırmak için fonksiyonun tamamından \( c \) çıkarılır.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = f(x) - c \)

💡 Örnek: \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım.
⬆️ 4 birim yukarı kaydırırsak: \( g(x) = f(x) + 4 = x^2 + 4 \)
⬇️ 1 birim aşağı kaydırırsak: \( h(x) = f(x) - 1 = x^2 - 1 \)

🔄 Fonksiyonlarda Simetri

Bir fonksiyonun grafiğinin bir doğruya veya bir noktaya göre yansıması alınabilir. Bu işlemlere simetri dönüşümleri denir.

📌 Eksenlere Göre Simetri

• 🎯 x Eksenine Göre Simetri: Fonksiyonun işareti değiştirilir.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = -f(x) \)
• 🎯 y Eksenine Göre Simetri: Fonksiyonda \( x \) yerine \( -x \) yazılır.
  Kural: \( y = f(x) \) → \( y = f(-x) \)

💡 Örnek: \( f(x) = x^3 - 2x \) fonksiyonunu ele alalım.
➡️ x eksenine göre simetriği: \( g(x) = -f(x) = -(x^3 - 2x) = -x^3 + 2x \)
➡️ y eksenine göre simetriği: \( h(x) = f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x \)

📌 Orijine Göre Simetri

Bir fonksiyonun orijine göre simetriği alınırken hem x hem de y eksenlerine göre simetri alınmış gibi düşünülebilir. Yani fonksiyonda \( x \) yerine \( -x \) yazılır ve bulunan ifadenin işareti değiştirilir.

Kural: \( y = f(x) \) → \( y = -f(-x) \)

💡 Örnek: \( f(x) = x^3 - 2x \) fonksiyonunun orijine göre simetriği:
\( g(x) = -f(-x) = -[(-x)^3 - 2(-x)] = -[-x^3 + 2x] = x^3 - 2x \)
Bu durumda fonksiyon kendisine eşit çıktı, yani bu fonksiyon tek fonksiyondur.

📌 \( y = x \) Doğrusuna Göre Simetri

Bir fonksiyonun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği, fonksiyonun ters fonksiyonuna eşittir.

Kural: \( y = f(x) \) → \( x = f(y) \) veya \( y = f^{-1}(x) \)

💡 Örnek: \( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği:
Önce tersini bulalım: \( y = 2x + 1 \) → \( x = 2y + 1 \) → \( 2y = x - 1 \) → \( y = \frac{x - 1}{2} \)
Yani simetriği: \( g(x) = \frac{x - 1}{2} \)

🎯 Önemli Uyarılar

• ✅ Öteleme ve simetri işlemleri sırası önemlidir! Farklı sıralamalar farklı sonuçlar verebilir.
• ✅ Bir fonksiyonun \( y = x \) doğrusuna göre simetriği, fonksiyonun tersi olduğundan, her fonksiyonun tersi olmayabilir (birebir ve örten olmayan fonksiyonlar).
• ✅ Tek fonksiyonlar orijine göre simetriktir: \( f(-x) = -f(x) \)
• ✅ Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir: \( f(-x) = f(x) \)