Geometrik ortalama formülü

Question

Geometrik ortalamanın formülünü biliyorum ama hangi durumlarda kullanmam gerektiğini tam olarak anlayamadım. Aritmetik ortalamadan farkını ve gerçek hayatta nerede işime yarayacağını basitçe açıklar mısınız?

Answer 1

Geometrik Ortalama Nedir?

Geometrik ortalama, bir sayı dizisindeki elemanların çarpımının, dizinin eleman sayısına eşit kökü alınarak hesaplanan bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Aritmetik ortalamadan farklı olarak, verilerdeki oransal değişimleri ve büyüme oranlarını ölçmek için daha uygundur.

Geometrik Ortalama Formülü

n tane pozitif sayıdan oluşan bir veri kümesi (\(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\)) için geometrik ortalama (GO) formülü şu şekildedir:

\[ GO = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times ... \times x_n} \]

Bu formülü üslü ifade olarak da yazabiliriz:

\[ GO = (x_1 \times x_2 \times x_3 \times ... \times x_n)^{\frac{1}{n}} \]

Geometrik Ortalama Nasıl Hesaplanır?

Hesaplama adımları şunlardır:

• 1. Adım: Tüm sayıları birbiriyle çarpın.
• 2. Adım: Çarpım sonucunun, veri sayısı (n) kadarıncı kökünü alın.

Örnek Hesaplama

2, 8 ve 32 sayılarının geometrik ortalamasını bulalım.

• Sayıların çarpımı: \( 2 \times 8 \times 32 = 512 \)
• Eleman sayısı (n): 3
• Geometrik ortalama: \( \sqrt[3]{512} = 8 \)

Bu üç sayının geometrik ortalaması 8'dir.

Geometrik Ortalama Nerelerde Kullanılır?

• Yatırım getirileri veya bileşik faiz hesaplamalarında
• Nüfus artış hızı gibi oransal büyümelerin ortalamasını alırken
• Oran ve indeks değerlerinin ortalamasını hesaplarken
• Bazı geometrik problemlerde (örneğin, kenar uzunlukları verilen bir dikdörtgenin alanını koruyan karenin kenar uzunluğunu bulmak)

Önemli Not: Geometrik ortalama hesaplanacak tüm sayılar pozitif olmalıdır. Sıfır veya negatif sayılar için geometrik ortalama tanımsızdır veya anlamsız sonuçlar verebilir.