Geometrik ortalama nasıl hesaplanır

Question

Geometrik ortalamayı hesaplamak için elimde birkaç sayı var ama formülü tam anlayamadım. Özellikle sayıların çarpımından sonra kök işlemini nasıl uygulayacağımı karıştırıyorum. Örneğin 4 ve 9'un geometrik ortalamasını bulurken neden 6 sonucunu aldığımızı mantığıyla birlikte kavramak istiyorum.

Answer 1

Geometrik Ortalama Nedir?

Geometrik ortalama, bir sayı dizisindeki elemanların çarpımının, dizinin eleman sayısına eşit kökü alınarak hesaplanan bir merkezî eğilim ölçüsüdür. Özellikle oranlar, yüzdeler veya büyüme oranları gibi çarpımsal ilişkiler içeren verilerde kullanılır.

Geometrik Ortalama Hesaplama Formülü

n tane pozitif sayıdan oluşan bir veri seti için geometrik ortalama (GO) şu formülle hesaplanır:

\( GO = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_n} \)

Bu formülü şu şekilde de ifade edebiliriz:

\( GO = (x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \)

Geometrik Ortalama Nasıl Hesaplanır? (Adım Adım)

1. Tüm sayıları çarpın: Veri setinizdeki tüm pozitif sayıları birbiriyle çarpın.
2. Kök derecesini belirleyin: Kökün derecesi, veri setinizdeki sayıların adedine (n) eşittir.
3. Kökü alın: Birinci adımda bulduğunuz çarpımın, n. dereceden kökünü alın.

Örnek Hesaplama

2, 8 ve 32 sayılarının geometrik ortalamasını hesaplayalım.

1. Sayıları çarp: \( 2 \times 8 \times 32 = 512 \)
2. Kök derecesini belirle: 3 sayı olduğu için n=3'tür. (3. dereceden kök, yani küp kök)
3. Kökü al: \( \sqrt[3]{512} = 8 \)

Sonuç olarak, 2, 8 ve 32 sayılarının geometrik ortalaması 8'dir.

Geometrik Ortalamanın Kullanım Alanları

• Finansta yatırım getirilerinin ortalama performansını hesaplamak.
• Nüfus artış hızı gibi büyüme oranlarını değerlendirmek.
• Birbiriyle orantılı veri setlerini (örneğin, en-boy oranları) analiz etmek.

Önemli Uyarılar

• Geometrik ortalama, yalnızca pozitif sayılar için tanımlıdır. Veri setinizde sıfır veya negatif bir sayı varsa geometrik ortalama hesaplanamaz.
• Verilerdeki aşırı değerlerden (uç değerler) aritmetik ortalamaya kıyasla daha az etkilenir.