Geometrik ortalama nedir

Question

Geometrik ortalamayı anlamakta biraz zorlanıyorum. Aritmetik ortalamadan farkını tam olarak kavrayamadım. Özellikle hangi durumlarda kullanmamız gerektiğini merak ediyorum.

Answer 1

Geometrik Ortalama Nedir?

Geometrik ortalama, bir sayı dizisindeki elemanların çarpımının, dizideki eleman sayısının kökü alınarak hesaplanan bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Aritmetik ortalamadan farklı olarak, değerler arasındaki oranları ve çarpımsal ilişkileri daha iyi yansıtır.

Ne Zaman Kullanılır?

Geometrik ortalama özellikle şu durumlarda kullanışlıdır:

• Yüzde artış veya azalışların (büyüme oranları) olduğu verilerde (örneğin, nüfus artışı, yatırım getirileri).
• Verilerin logaritmik bir ölçekte dağıldığı durumlarda.
• Oran veya indekslerle çalışırken.

Formülü

n tane pozitif sayıdan oluşan bir veri kümesi (\( x_1, x_2, x_3, ..., x_n \)) için geometrik ortalama (GO) formülü şudur:

\( GO = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times ... \times x_n} \)

Bu formül, kök içindeki çarpımın n. dereceden kökü alınarak hesaplanır.

Hesaplama Örneği

Bir yatırımın dört yıl boyunca getiri oranları sırasıyla %10, %15, %20 ve %5 olsun. Öncelikle yüzde değerlerini ondalıklı sayıya çevirip 1 ekleyerek "büyüme çarpanını" buluruz: 1.10, 1.15, 1.20 ve 1.05.

Geometrik ortalamayı hesaplayalım:

• Çarpım: \( 1.10 \times 1.15 \times 1.20 \times 1.05 = 1.5939 \)
• 4. dereceden kök: \( \sqrt[4]{1.5939} \approx 1.124 \)

Buradan ortalama yıllık büyüme oranının yaklaşık %12.4 (\( 1.124 - 1 = 0.124 \)) olduğunu buluruz.

Geometrik ve Aritmetik Ortalama Farkı

• Aritmetik Ortalama: Değerleri toplar ve sayıya böler. Büyüme oranları gibi verilerde gerçeği yansıtmayabilir ve ortalamayı olduğundan yüksek gösterebilir.
• Geometrik Ortalama: Değerlerin çarpımı ve kökü ile hesaplanır. Zaman içindeki bileşik büyümeyi daha doğru temsil eder.

Özetle, geometrik ortalama, özellikle oranlar ve büyüme hızları söz konusu olduğunda, verilerin merkezini daha doğru bir şekilde temsil eden güçlü bir istatistiktir.