📐 İki Eğri Arasında Kalan Alan Nasıl Bulunur?
İki eğri arasında kalan alanı bulmak, integral hesabın en önemli uygulamalarından biridir. Bu yöntemle, iki fonksiyon grafiği arasında kalan bölgenin alanını hesaplayabiliriz.
🎯 Temel Prensip
İki eğri arasında kalan alanı bulmak için şu adımları izleriz:
- 📌 Önce iki eğrinin kesişim noktalarını buluruz
- 📌 Hangi eğrinin üstte, hangisinin altta olduğunu belirleriz
- 📌 Üstteki eğri eksi alttaki eğri formülünü uygularız
- 📌 Bu fark fonksiyonunu kesişim noktaları arasında integralini alırız
🧮 Matematsel Formül
\(f(x)\) ve \(g(x)\) fonksiyonları \([a, b]\) aralığında sürekli ve \(f(x) \geq g(x)\) ise, bu iki eğri arasında kalan alan:
\[A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx\]
📝 Adım Adım Çözüm Yöntemi
- 💡 Adım 1: \(f(x) = g(x)\) denklemini çözerek kesişim noktalarını bul
- 💡 Adım 2: Hangi fonksiyonun daha büyük olduğunu kontrol et
- 💡 Adım 3: Üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkar
- 💡 Adım 4: Elde edilen fark fonksiyonunun integralini al
🔍 Örnek Uygulama
\(y = x^2\) ve \(y = x\) eğrileri arasında kalan alanı bulalım:
- 📌 Kesişim noktaları: \(x^2 = x\) → \(x(x-1) = 0\) → \(x = 0\) ve \(x = 1\)
- 📌 \([0, 1]\) aralığında \(x \geq x^2\) olduğundan üstteki fonksiyon \(y = x\)
- 📌 Alan = \(\int_{0}^{1} [x - x^2] \, dx\)
- 📌 = \(\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}\)
- 📌 = \(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - (0)\) = \(\frac{1}{6}\) birimkare
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- ❌ Kesişim noktalarını doğru bulmak çok önemli
- ❌ Hangi fonksiyonun üstte olduğunu kontrol etmeyi unutma
- ❌ Eğriler birden fazla aralıkta kesişiyorsa, her aralık için ayrı hesapla
- ❌ Mutlak değer kullanmaya gerek yok, doğru sırayla çıkarma yap
🔄 y Eksenine Göre Entegrasyon
Bazen x yerine y'ye göre integral almak daha kolay olabilir. Fonksiyonları \(x = f(y)\) ve \(x = g(y)\) şeklinde yazıp:
\[A = \int_{c}^{d} [f(y) - g(y)] \, dy\]
formülünü kullanabiliriz.
