İki nokta arası uzaklık formülü

Question

Bu formülü anlamakta zorlanıyorum. Koordinatları formülde yerine koyunca işlem karışık geliyor ve sonuca nasıl ulaştığımızı tam göremiyorum. Özellikle karekök içindeki kare alma işlemleri kafamı karıştırıyor.

Answer 1

İki Nokta Arası Uzaklık Formülü

Koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için kullanılan temel bir formüldür. Bu formül, Pisagor teoreminden türetilmiştir.

Formül

Koordinat düzleminde \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık aşağıdaki formülle hesaplanır:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Formülün Açıklaması

• İki nokta arasındaki fark, bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunu verir.
• \( (x_2 - x_1) \) farkı, yatay uzaklığı temsil eder.
• \( (y_2 - y_1) \) farkı ise dikey uzaklığı temsil eder.
• Bu iki kenarın karelerinin toplamının karekökü, bize hipotenüs yani iki nokta arasındaki doğru uzaklığı verir.

Örnek

\( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım:

• \( x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 \)
• \( y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4 \)
• \( |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
• \( |AB| = \sqrt{9 + 16} \)
• \( |AB| = \sqrt{25} = 5 \) birim

Not: Bu formül, iki boyutlu düzlem için geçerlidir. Üç boyutlu uzayda benzer bir formül kullanılır ve \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \) şeklindedir.

Answer 2

İki Nokta Arası Uzaklık Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Koordinat düzleminde A(3, 1) ve B(6, 5) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
a) 3   b) 4   c) 5   d) 6   e) 7
Cevap: c) 5
Çözüm: İki nokta arası uzaklık formülü: \( \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \) = \( \sqrt{(6-3)^2+(5-1)^2} \) = \( \sqrt{9+16} \) = \( \sqrt{25} \) = 5

Soru 2: A(-2, 3) ve B(4, -1) noktaları veriliyor. |AB| uzunluğu kaçtır?
a) \( 2\sqrt{10} \)   b) \( 2\sqrt{13} \)   c) \( 4\sqrt{2} \)   d) \( 5\sqrt{2} \)   e) \( 6\sqrt{2} \)
Cevap: b) \( 2\sqrt{13} \)
Çözüm: \( \sqrt{(4-(-2))^2+(-1-3)^2} \) = \( \sqrt{(6)^2+(-4)^2} \) = \( \sqrt{36+16} \) = \( \sqrt{52} \) = \( 2\sqrt{13} \)

Soru 3: Köşe koordinatları A(1, 2), B(4, 6) ve C(7, 2) olan ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
a) 12   b) 14   c) 16   d) 18   e) 20
Cevap: c) 16
Çözüm: |AB| = \( \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \) = \( \sqrt{9+16} \) = 5
|BC| = \( \sqrt{(7-4)^2+(2-6)^2} \) = \( \sqrt{9+16} \) = 5
|AC| = \( \sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2} \) = \( \sqrt{36+0} \) = 6
Çevre = 5 + 5 + 6 = 16

Soru 4: A(2, k) ve B(5, 1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
a) -2   b) -1   c) 0   d) 1   e) 2
Cevap: a) -2
Çözüm: \( \sqrt{(5-2)^2+(1-k)^2} = 5 \) → \( 9+(1-k)^2 = 25 \) → \( (1-k)^2 = 16 \) → 1-k = 4 veya 1-k = -4 → k = -3 veya k = 5 → -3 + 5 = 2