İki terimin farkının karesi (a-b)²

Question

Bu formülü açarken nerede eksik yaptığımı anlamıyorum. (a-b)² işlemini yapınca a² - 2ab + b² sonucunu bulmam gerekiyor ama ben sürekli işaret hatası yapıyorum. Özellikle -2ab kısmında takılıyorum, neden eksi olduğunu tam kavrayamadım.

Answer 1

📐 İki Terimin Farkının Karesi: (a - b)²

Bu konu, cebirde çok sık karşılaştığımız ve işlem kolaylığı sağlayan özdeşliklerden biridir. Bir ifadenin karesini almak, onu kendisiyle çarpmak demektir. Yani (a - b)² ifadesi, (a - b) x (a - b) anlamına gelir.

🧠 Formülün Açılımı

İki terimin farkının karesi aşağıdaki formülle ifade edilir:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

🔍 Formül Nasıl Elde Edilir?

Formülü, çarpma işlemi yaparak kendimiz de bulabiliriz:

(a - b)² = (a - b) x (a - b)

Şimdi çarpma işlemini dağılma özelliği (FOIL yöntemi) kullanarak yapalım:

• ➡️ İlk terimler: a x a = a²
• ➡️ Dış terimler: a x (-b) = -ab
• ➡️ İç terimler: (-b) x a = -ab
• ➡️ Son terimler: (-b) x (-b) = +b²

Elde ettiklerimizi toplayalım:

a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

💡 Önemli Noktalar

• ✅ Formülün sonucu her zaman üç terimlidir.
• ✅ Ortadaki terimin işareti her zaman eksi (-) olur. Çünkü -ab ve -ab toplanır ve -2ab elde edilir.
• ✅ Bu bir özdeşliktir, yani a ve b'nin tüm değerleri için doğrudur.

🧩 Örnekler

🎯 Sayısal Örnek

(7 - 3)² işlemini formülü kullanarak yapalım.

Burada a = 7 ve b = 3'tür.

(7 - 3)² = 7² - 2(7)(3) + 3²

= 49 - 42 + 9

= 16

💡 Kontrol edelim: (7-3)=4 ve 4'ün karesi 16'dır. Görüldüğü gibi sonuç aynı!

🎯 Cebirsel Örnek

(5x - 2y)² ifadesini açalım.

Burada a = 5x ve b = 2y'dir.

(5x - 2y)² = (5x)² - 2(5x)(2y) + (2y)²

= 25x² - 20xy + 4y²

📌 Pratik İpuçları

• 🔹 Birinci terimin karesi alınır: a²
• 🔹 Birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı yazılır ve işareti eksi olur: -2ab
• 🔹 İkinci terimin karesi alınır: +b²

Bu sırayı "Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi" şeklinde bir formülle hatırlayabilirsin. Ortadaki terimin işaretinin her zaman eksi olduğunu unutma!