# 📊 İşaret Tablosunda Çift Katlı Kök Nasıl Gösterilir? – Ders Notu
🎯 Konu: Polinom Eşitsizliklerinde Çift Katlı Kök Kavramı
Bu ders notunda, işaret tablosu oluştururken karşılaşılan çift katlı kök durumunun nasıl işlendiğini öğreneceğiz. Bu konu, polinom eşitsizliklerini çözerken kritik bir öneme sahiptir.
🔍 Temel Tanım: Çift Katlı Kök Nedir?
Bir \( P(x) \) polinomunda, \( (x - a)^2 \), \( (x - a)^4 \) gibi çift kuvvetli çarpanların oluşturduğu köklere çift katlı kök denir. Matematiksel olarak, \( x = a \) noktası polinomun çift katlı kökü ise, polinom bu noktada \( x \)-eksenine teğet geçer ve işaret değiştirmez.
📈 İşaret Tablosunda Çift Katlı Kök Gösterimi
İşaret tablosu oluştururken kökler sıralanır ve her aralığın işareti belirlenir. Çift katlı köklerde işaret değişimi olmaz. Bu durum tabloda özel bir gösterimle ifade edilir.
🧩 Adım Adım İşlem:
- ✅ 1. Adım: Polinomu çarpanlarına ayırın. Örneğin: \( P(x) = (x-2)^2 (x+1) \)
- ✅ 2. Adım: Kökleri bulun: \( x = 2 \) (çift katlı), \( x = -1 \) (tek katlı)
- ✅ 3. Adım: Kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralayın.
- ✅ 4. Adım: İşaret tablosunu oluşturun. Çift katlı kökün bulunduğu hücreye, işareti değiştirmeyeceğimizi belirtmek için bir işaret (✓, ↷ veya "çift") koyun veya kökü daire içine alın.
📊 Örnek Tablo: \( P(x) = (x-2)^2 (x+1) \)
Aşağıdaki tabloda \( x=2 \) çift katlı kök olduğu için işaret değişimi olmamıştır.
| \( x \) |
\( x < -1 \)** |
\( x = -1 \)** |
\( -1 < x < 2 \)** |
\( x = 2 \)** (çift katlı) |
\( x > 2 \)** |
| \( (x-2)^2 \)** |
+ |
+ |
+ |
0 (teğet) |
+ |
| \( (x+1) \)** |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
| \( P(x) \)** |
- |
0 |
+ |
0 (çift katlı) |
+ |
Sonuç: \( P(x) \geq 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi: \( [-1, \infty) \) ( \( x=2 \) dahil, çünkü eşitlik var).
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 🔁 Çift katlı köklerde işaret değişimi olmaz. Tabloda bu kökün bulunduğu sütunun iki yanındaki işaretler aynıdır.
- ⭕ Eşitsizlikte "≤" veya "≥" varsa, çift katlı kök de çözüm kümesine dahil edilir (çünkü bu noktada polinom sıfırdır).
- 🚫 Eşitsizlikte "<" veya ">" varsa, çift katlı kök çözüm kümesine dahil edilmez (sıfır olduğu için).
🎓 Özet ve Anahtar Kurallar
- 📌 Çift katlı kök: \( (x-a)^{2n} \) formundaki çarpanların kökü.
- 📌 İşaret tablosunda çift katlı kökten geçerken işaret değişmez.
- 📌 Tabloda çift katlı kökü vurgulamak için özel işaretleme yapılır (daire, yıldız, not).
- 📌 Grafikte \( x \)-eksenine teğet olan noktalar çift katlı köktür.
Bu kuralları uygulayarak, polinom eşitsizliklerinde çift katlı kök içeren işaret tablolarını hatasız oluşturabilirsiniz. Alıştırma yapmak, konuyu pekiştirmenin en iyi yoludur. 🚀
