İse bağlacının veya cinsinden yazılışı (p⇒q ≡ p'∨q)

Question

Bu mantık konusunu anlamakta biraz zorlanıyorum. p ise q'nun, p değil veya q'ya denk olduğunu görüyorum ama bunu neden böyle yazdığımızı tam kavrayamadım. Özellikle "veya" bağlacı ile nasıl aynı anlama geldiğini mantıksal olarak oturtamıyorum.

Answer 1

📘 İse Bağlacının "Veya" Cinsinden Yazılışı

Matematik ve mantıkta, "ise" bağlacı (⇒) ile "veya" bağlacı (∨) arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişki, karmaşık görünen ifadeleri daha basit hale getirmemizi sağlar.

🎯 Temel Eşdeğerlik

Bir koşullu önerme (p ⇒ q), her zaman bir veya önermesine dönüştürülebilir. Bu dönüşümün kuralı şudur:

p ⇒ q ≡ p' ∨ q

Burada p', p önermesinin değili (olumsuzu) anlamına gelir. Yani, "eğer p ise q" demek, "ya p değildir ya da q'dur" demekle mantıken aynıdır.

🧠 Bu Neden Doğrudur? (Doğruluk Tablosu ile İspat)

Bu eşdeğerliğin neden geçerli olduğunu anlamak için her iki ifadenin de doğruluk tablosunu oluşturalım.

• 📌 p ⇒ q ifadesi, yalnızca p doğru ve q yanlış olduğunda yanlış (F) olur. Diğer tüm durumlarda doğru (T) olur.
• 📌 p' ∨ q ifadesi ise, p' doğru olduğunda (yani p yanlışken) veya q doğru olduğunda doğru olur. Sadece p' yanlış (yani p doğru) ve q yanlış olduğunda yanlış olur.

İki ifadenin doğruluk değerlerini karşılaştıralım:

p	q	p'	p ⇒ q	p' ∨ q
T	T	F	T	T
T	F	F	F	F
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

Görüldüğü gibi, p ⇒ q ve p' ∨ q sütunlarındaki tüm değerler aynıdır. Bu da bize bu iki ifadenin mantıksal eşdeğer olduğunu kanıtlar. ✅

💡 Örnekler

Bu kuralı somut örneklerle pekiştirelim.

• ➡️ Örnek 1: "Hava yağmurlu ise, yerler ıslaktır." (p: Hava yağmurlu, q: Yerler ıslak)

  Bu ifade, şu şekilde yazılabilir: "Hava yağmurlu değildir veya yerler ıslaktır."

  Mantıksal gösterim: p ⇒ q ≡ p' ∨ q

• ➡️ Örnek 2: "Bir sayı 2'ye bölünüyorsa çifttir." (p: Sayı 2'ye bölünür, q: Sayı çifttir)

  Bu ifade, şu şekilde yazılabilir: "Sayı 2'ye bölünmez veya sayı çifttir."

  Mantıksal gösterim: p ⇒ q ≡ p' ∨ q

🎓 Neden Bu Dönüşüm Önemlidir?

• ✅ Sadeleştirme: Bazı ispat yöntemlerinde ve devre tasarımında "ise" bağlacını "veya" bağlacına çevirmek işleri kolaylaştırır.
• ✅ Anlama: "p ise q" önermesinin, aslında "p'nin yanlış olması" ihtimalini de içerdiğini gösterir. p yanlışsa, q ne olursa olsun önerme doğrudur.

Bu kural, mantığın en temel ve en kullanışlı kurallarından biridir ve ileri konularda sık sık karşınıza çıkacaktır.