İşlem Özellikleri: Değişme, Birleşme, Dağılma

Question

Hocam bu özellikleri birbirine karıştırıyorum, hangisi hangisi anlayamıyorum. Özellikle dağılma özelliğinde parantez içiyle dışını çarparken kafam karışıyor. Değişme ve birleşme arasındaki farkı da tam oturtamadım, basit bir şekilde anlatabilir misiniz?

Answer 1

İşlem Özellikleri: Değişme, Birleşme, Dağılma

Matematikte işlemlerin belirli özellikleri vardır. Bu özellikler, işlemleri daha kolay anlamamızı ve uygulamamızı sağlar. En temel işlem özellikleri şunlardır:

1. Değişme Özelliği (Commutative Property)

Bir işlemin değişme özelliği, işlemdeki elemanların yerlerinin değiştirilebilmesidir. Toplama ve çarpma işlemleri değişme özelliğine sahiptir.

• Toplama: \( a + b = b + a \)
• Çarpma: \( a \times b = b \times a \)

Örnek: \( 3 + 5 = 5 + 3 = 8 \) veya \( 4 \times 7 = 7 \times 4 = 28 \)

Not: Çıkarma ve bölme işlemleri değişme özelliğine sahip değildir.

2. Birleşme Özelliği (Associative Property)

Bir işlemin birleşme özelliği, işlemdeki gruplamanın sonucu değiştirmemesidir. Toplama ve çarpma işlemleri birleşme özelliğine sahiptir.

• Toplama: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
• Çarpma: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)

Örnek: \( (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \) veya \( (5 \times 2) \times 3 = 5 \times (2 \times 3) = 30 \)

Not: Çıkarma ve bölme işlemleri birleşme özelliğine sahip değildir.

3. Dağılma Özelliği (Distributive Property)

Dağılma özelliği, çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağıtılabilmesidir.

• Çarpmanın toplama üzerine dağılması: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
• Çarpmanın çıkarma üzerine dağılması: \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)

Örnek: \( 3 \times (4 + 5) = (3 \times 4) + (3 \times 5) = 12 + 15 = 27 \)

Not: Dağılma özelliği sadece çarpma işlemi için geçerlidir.

Answer 2

İşlem Özellikleri: Değişme, Birleşme, Dağılma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki işlemlerden hangisi değişme özelliğini sağlamaz?
a) \( 5 + 3 = 3 + 5 \)
b) \( 12 \times 4 = 4 \times 12 \)
c) \( 8 - 2 = 2 - 8 \)
d) \( 10 \div 5 = 5 \div 10 \)
e) \( 7 + 9 = 9 + 7 \)
Cevap: c) ve d) (Çıkarma ve bölme işlemleri değişme özelliği göstermez. Örneğin \( 8 - 2 \neq 2 - 8 \)).

Soru 2: \( 3 \times (x + 2) = 15 \) denklemini dağılma özelliği kullanarak çözen bir öğrenci, aşağıdaki adımlardan hangisini yanlış uygular?
a) \( 3x + 6 = 15 \)
b) \( 3x = 15 - 6 \)
c) \( 3x = 9 \)
d) \( x = 9 \times 3 \)
e) \( x = 3 \)
Cevap: d) (Doğru işlem \( x = \frac{9}{3} \) olmalıdır. Çarpma yerine bölme yapılması gerekir.)