Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma

Question

Karmaşık sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yaparken hangi kısımları ayrı ayrı toplamamız gerektiğini karıştırıyorum. Özellikle sanal ve gerçek kısımları aynı anda düşününce kafam karışıyor. İşlemleri adım adım nasıl ayıracağımı netleştirmek istiyorum.

Answer 1

🎯 Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Karmaşık sayılar, gerçek ve sanal kısımlardan oluşan sayılardır. Genel olarak a + bi şeklinde ifade edilirler. Burada:

• 📌 a → Gerçek kısım (Reel kısım)
• 📌 b → Sanal kısım (İmajiner kısım)
• 📌 i → Sanal birim (\( i^2 = -1 \))

➕ Karmaşık Sayılarda Toplama İşlemi

İki karmaşık sayı toplanırken gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( z_1 = a + bi \) ve \( z_2 = c + di \) olmak üzere,

\( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \)

📝 Örnek:

\( z_1 = 3 + 5i \) ve \( z_2 = 2 - 4i \) olsun.

\( z_1 + z_2 = (3 + 2) + (5 + (-4))i = 5 + 1i = 5 + i \)

➖ Karmaşık Sayılarda Çıkarma İşlemi

İki karmaşık sayı çıkarılırken gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında çıkarılır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( z_1 = a + bi \) ve \( z_2 = c + di \) olmak üzere,

\( z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \)

📝 Örnek:

\( z_1 = 7 + 2i \) ve \( z_2 = 4 - 3i \) olsun.

\( z_1 - z_2 = (7 - 4) + (2 - (-3))i = 3 + (2 + 3)i = 3 + 5i \)

💡 Önemli Kurallar

• ✅ Toplama işleminin değişme özelliği vardır: \( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
• ✅ Toplama işleminin birleşme özelliği vardır: \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \)
• ✅ Çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur: \( z_1 - z_2 ≠ z_2 - z_1 \)
• ✅ Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı \( 0 + 0i \)'dir

🎯 Pratik Yöntem

Karmaşık sayılarla işlem yaparken şu adımları takip edebilirsiniz:

1. ➡️ Gerçek kısımları belirle
2. ➡️ Sanal kısımları belirle
3. ➡️ Gerçek kısımları kendi arasında işleme sok
4. ➡️ Sanal kısımları kendi arasında işleme sok
5. ➡️ Sonucu standart formda (\( a + bi \)) yaz

Bu kuralları öğrendikten sonra, karmaşık sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini rahatlıkla yapabilirsiniz! 🚀