Kesişen doğruların kesim noktası nasıl bulunur

Question

İki doğrunun denklemini ortak çözmeye çalışıyorum ama sonuç hep karışıyor. Denklemleri nasıl birleştireceğimi ve hangi yöntemi kullanmam gerektiğini tam anlayamadım. Özellikle x ve y'yi nasıl tek başına bırakacağım konusunda kafam karışık.

Answer 1

📐 Kesişen Doğruların Kesim Noktasını Bulma

İki doğrunun kesiştiği noktayı bulmak için, bu doğruların denklemlerini ortak çözmemiz gerekir. Bu nokta, her iki doğru denklemini de sağlayan \((x, y)\) sıralı ikilisidir.

🎯 Adım Adım Yöntem

Kesişim noktasını bulmak için şu adımları izleyebiliriz:

• ➡️ Adım 1: Her iki doğrunun denklemini yazın. Genellikle bu denklemler \(y = mx + n\) (eğim-kesim noktası formu) veya \(ax + by + c = 0\) (standart form) şeklindedir.
• ➡️ Adım 2: Denklemleri bir denklem sistemi olarak düşünün. Bu sistemi çözerek \(x\) ve \(y\) değerlerini bulun.
• ➡️ Adım 3: Bulduğunuz \((x, y)\) değerleri, kesişim noktasının koordinatlarını verir.

🧮 Örnek Çözüm

Aşağıdaki iki doğrunun kesişim noktasını bulalım:

• 📌 Doğru 1: \(y = 2x + 1\)
• 📌 Doğru 2: \(y = -x + 4\)

Bu iki denklemi birbirine eşitleyerek çözebiliriz, çünkü kesişim noktasında her ikisinin de \(y\) değeri aynıdır.

\(2x + 1 = -x + 4\)

Terimleri düzenleyelim:

\(2x + x = 4 - 1\)

\(3x = 3\)

\(x = 1\)

Şimdi \(x\) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \(y\) değerini bulalım. İlk denklemi kullanalım:

\(y = 2(1) + 1 = 3\)

✅ Kesişim Noktası: \((1, 3)\)

💡 Farklı Denklem Formları İle Çalışmak

Doğrular her zaman \(y\)'ye bağlı olarak verilmeyebilir. Örneğin:

• 📌 Doğru A: \(3x + 2y = 6\)
• 📌 Doğru B: \(x - y = 3\)

Bu durumda, yerine koyma veya yok etme yöntemlerinden birini kullanabiliriz. Yok etme yöntemini deneyelim:

Doğru B'yi 2 ile çarpalım: \(2x - 2y = 6\)

Şimdi bu denklemi Doğru A ile toplayalım:

\((3x + 2y) + (2x - 2y) = 6 + 6\)

\(5x = 12\)

\(x = \frac{12}{5}\)

\(x\) değerini Doğru B'de yerine koyalım:

\(\frac{12}{5} - y = 3\)

\(-y = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}\)

\(y = -\frac{3}{5}\)

✅ Kesişim Noktası: \((\frac{12}{5}, -\frac{3}{5})\)

⚠️ Özel Durumlar

• 🚫 Paralel Doğrular: Eğer iki doğru paralelse (eğimleri eşitse), hiç kesişmezler. Denklem sisteminin çözümü yoktur.
• 🔁 Çakışık Doğrular: Eğer iki doğru çakışıksa (aynı doğruyu temsil ediyorlarsa), sonsuz sayıda ortak noktaları vardır.