Bu ders notumuzda, köklü fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı öğreneceğiz. Köklü ifadeler, üslü ifadelerin alternatif bir gösterimi olduğundan, türev alırken bu dönüşümü kullanmak işimizi oldukça kolaylaştıracaktır.
Herhangi bir köklü ifadeyi, üslü ifade olarak yazabiliriz. Bu, türev alma kurallarını uygulamamızı sağlar.
Köklü ifadeyi üslü ifadeye dönüştürdükten sonra, kuvvet kuralını (power rule) ve zincir kuralını (chain rule) birlikte kullanırız.
Genel Formül:
Eğer \( y = \sqrt[n]{u(x)} = [u(x)]^{1/n} \) ise,
\( y' = \frac{1}{n} \cdot [u(x)]^{(1/n) - 1} \cdot u'(x) \)
Daha sade bir şekilde:
\( \frac{d}{dx} \sqrt[n]{u} = \frac{u'}{n \cdot (\sqrt[n]{u})^{n-1}} \)
Örnek 1: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm:
\( f(x) = x^{1/2} \)
Kuvvet kuralını uyguluyoruz: \( f'(x) = \frac{1}{2} x^{(1/2) - 1} \)
\( f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Örnek 2: \( g(x) = \sqrt[3]{5x^2 + 1} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm:
\( g(x) = (5x^2 + 1)^{1/3} \)
Zincir kuralı ile:
\( g'(x) = \frac{1}{3} (5x^2 + 1)^{-2/3} \cdot (10x) \)
\( g'(x) = \frac{10x}{3 \sqrt[3]{(5x^2 + 1)^2}} \)
Örnek 3: \( h(x) = \sqrt{x^3 + 2x} \) fonksiyonunun türevini bulalım.
Çözüm:
\( h(x) = (x^3 + 2x)^{1/2} \)
\( h'(x) = \frac{1}{2} (x^3 + 2x)^{-1/2} \cdot (3x^2 + 2) \)
\( h'(x) = \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x}} \)
Köklü fonksiyonların türevini alırken şu adımları takip edebilirsiniz:
1. Köklü ifadeyi üslü ifadeye çevir.
2. Kuvvet kuralını uygula.
3. İç fonksiyonun türevini al (zincir kuralı).
4. Sonucu sadeleştir ve mümkünse köklü gösterime geri dön.
Bu konu, türev alma kurallarının bir uygulamasıdır. Temel kuralları iyi kavradıysanız, köklü fonksiyonların türevini almak sizin için çok kolay olacaktır. Bol pratik yaparak bu beceriyi pekiştirebilirsiniz. 🎯
