koşullu olasılık

Question

Koşullu olasılıkta neyin koşula bağlı olduğunu karıştırıyorum. Hangi olayın gerçekleştiğini bilerek diğerinin olasılığını nasıl hesaplayacağımı tam olarak anlamıyorum. Formülleri uygularken de zorlanıyorum.

Answer 1

🧮 Koşullu Olasılık Nedir?

Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiği takdirde başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Yani, elimizde bir ön bilgi varken, belirli bir sonucun olasılığını yeniden değerlendiririz.

🎯 Temel Tanım ve Formül

A ve B gibi iki olayımız olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiği durumda A olayının gerçekleşme olasılığına "A'nın B koşullu olasılığı" denir ve P(A|B) şeklinde gösterilir. Formülü ise şöyledir:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Burada:

• 📊 P(A|B): B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı.
• 🎲 P(A ∩ B): A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı (kesişimi).
• ⚗️ P(B): B olayının gerçekleşme olasılığı.

Önemli Not: Bu formülün geçerli olabilmesi için P(B) > 0 olmalıdır. Yani, koşul olarak kabul ettiğimiz olayın olasılığı sıfırdan büyük olmalıdır.

📌 Koşullu Olasılık Nerelerde Kullanılır?

Koşullu olasılık, günlük hayatta ve birçok bilimsel alanda karşımıza çıkar. İşte bazı örnekler:

• 🌡️ Tıp: Bir testin pozitif çıkması durumunda, gerçekten hasta olma olasılığı (testin güvenilirliği dikkate alınarak).
• 🌦️ Hava Durumu Tahmini: Yağmur yağdığı bilindiğine göre, şimşek çakma olasılığı.
• 💰 Finans: Bir şirketin iflas ettiği bilindiğine göre, hisse senedinin değer kaybetme olasılığı.
• 🕵️ Suç Araştırması: Bir suçun işlendiği bilindiğine göre, belirli bir şüphelinin suçlu olma olasılığı.

🔑 Örnek Problem ve Çözümü

Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. İlk çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci çekilen bilyenin de kırmızı olma olasılığı nedir?

Çözüm:

A: İlk çekilen bilyenin kırmızı olması olayı.

B: İkinci çekilen bilyenin kırmızı olması olayı.

Bizden istenen P(B|A).

İlk bilye çekildikten sonra torbada 2 kırmızı ve 5 mavi bilye kalır. Bu durumda, ikinci çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı:

P(B|A) = 2 / (2 + 5) = 2 / 7

Yani, ilk çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci çekilen bilyenin de kırmızı olma olasılığı 2/7'dir.

💡 Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık

Eğer iki olay bağımsız ise, birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkilemez. Bu durumda:

P(A|B) = P(A)

Yani, B olayının gerçekleştiği bilindiği halde A olayının olasılığı değişmiyorsa, A ve B olayları bağımsızdır.