probability 🧐 Koşullu Olasılık Nedir?
Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Yani, elimizde zaten bir bilgi varken, bu bilginin diğer olasılıkları nasıl etkilediğini inceleriz.
- 💡 Tanım: A ve B gibi iki olayımız olsun. B olayının gerçekleştiği biliniyorsa, A olayının gerçekleşme olasılığına "A'nın B koşullu olasılığı" denir ve P(A|B) şeklinde gösterilir.
- 🧮 Formül: Koşullu olasılığı hesaplamak için şu formülü kullanırız:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Burada:
- 📚 $P(A|B)$: B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı (A'nın B koşullu olasılığı).
- 🤝 $P(A \cap B)$: A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı.
- ✅ $P(B)$: B olayının gerçekleşme olasılığı.
- 📌 Önemli Not: Koşullu olasılıkta, hangi olayın gerçekleştiği bilgisinin verildiği çok önemlidir. Yani $P(A|B)$ ile $P(B|A)$ genellikle farklı değerlerdir.
🧮 TYT Matematik Soru Çözümü
Şimdi de koşullu olasılıkla ilgili bir TYT matematik sorusu çözelim.
Soru: Bir sınıfta 20 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden 12'si kızdır. Kız öğrencilerden 5'i, erkek öğrencilerden ise 4'ü gözlüklüdür. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle verilen bilgileri整理leyelim:
- 👩🎓 Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: 20
- 👧 Kız öğrenci sayısı: 12
- 👦 Erkek öğrenci sayısı: 20 - 12 = 8
- 👓 Gözlüklü kız öğrenci sayısı: 5
- 👓 Gözlüklü erkek öğrenci sayısı: 4
- 👓 Toplam gözlüklü öğrenci sayısı: 5 + 4 = 9
Şimdi de olasılıkları hesaplayalım:
- ✅ A olayı: Seçilen öğrencinin kız olması.
- ✅ B olayı: Seçilen öğrencinin gözlüklü olması.
Bizden istenen, seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olma olasılığı, yani $P(A|B)$'yi bulmamız gerekiyor.
- 🤝 $P(A \cap B)$: Seçilen öğrencinin hem kız hem de gözlüklü olma olasılığı. Bu olasılık, gözlüklü kız öğrenci sayısının toplam öğrenci sayısına oranıdır: $P(A \cap B) = \frac{5}{20}$
- ✅ $P(B)$: Seçilen öğrencinin gözlüklü olma olasılığı. Bu olasılık, toplam gözlüklü öğrenci sayısının toplam öğrenci sayısına oranıdır: $P(B) = \frac{9}{20}$
Şimdi de koşullu olasılık formülünü uygulayalım:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{20}}{\frac{9}{20}} = \frac{5}{9}$
Cevap: Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız olma olasılığı $\frac{5}{9}$'dur.
🤔 Ek Örnek Soru
Bir torbada 3 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. İlk çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci çekilen bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
- 🍎 Bu soruyu da benzer mantıkla çözebilirsin. Unutma, ilk bilye çekildikten sonra torbadaki toplam bilye sayısı ve kırmızı bilye sayısı değişecektir.
