Koşullu önerme, "Eğer... ise..." şeklinde kurulan cümlelerdir. Bu cümlelerde bir hipotez (eğer'den sonra gelen kısım) ve bir hüküm (ise'den sonra gelen kısım) bulunur. Koşullu önermeler, mantık sorularında sıkça karşımıza çıkar ve doğru çözüme ulaşmak için ispat yöntemlerini bilmek önemlidir.
TYT mantık sorularında işine yarayacak başlıca ispat yöntemleri şunlardır:
Doğrudan ispatta, hipotezin doğru olduğunu kabul ederek, mantıksal adımlar ve çıkarımlar yoluyla hükmün de doğru olduğunu gösteririz.
Örnek:
Önerme: Eğer $x$ çift sayı ise, $x^2$ de çift sayıdır.
İspat:
$x$ çift sayı ise, $x = 2k$ şeklinde yazılabilir (k bir tam sayı).
Bu durumda, $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ olur.
$2k^2$ de bir tam sayı olduğundan, $x^2$ de çift sayıdır.
Çelişki yöntemi, hükmün yanlış olduğunu varsayarak, bu varsayımın mantıksal bir çelişkiye yol açtığını göstermektir. Eğer hükmün yanlış olduğu varsayımı bir çelişki yaratıyorsa, hükmün doğru olması gerekir.
Örnek:
Önerme: $\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır.
İspat:
$\sqrt{2}$'nin rasyonel olduğunu varsayalım. Bu durumda, $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilir (a ve b aralarında asal tam sayılar).
Her iki tarafın karesini alırsak, $2 = \frac{a^2}{b^2}$ olur.
Buradan, $2b^2 = a^2$ elde ederiz. Bu, $a^2$'nin çift sayı olduğunu gösterir.
Eğer $a^2$ çift sayı ise, $a$ da çift sayıdır. Yani, $a = 2k$ şeklinde yazılabilir (k bir tam sayı).
Bu durumda, $2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$ olur.
Buradan, $b^2 = 2k^2$ elde ederiz. Bu, $b^2$'nin de çift sayı olduğunu gösterir.
Eğer $b^2$ çift sayı ise, $b$ de çift sayıdır.
Sonuç olarak, hem $a$ hem de $b$ çift sayı oldu. Bu, $a$ ve $b$'nin aralarında asal olduğu varsayımıyla çelişir. Bu nedenle, $\sqrt{2}$ rasyonel olamaz, yani irrasyoneldir.
Tersine ispat, koşullu önermenin karşıt olumsuzunu (yani hükmün olumsuzunun hipotezin olumsuzunu gerektirdiğini) ispatlayarak, orijinal önermenin de doğru olduğunu göstermektir.
Örnek:
Önerme: Eğer $x + y$ çift sayı ise, $x$ ve $y$ aynı türdendir (ikisi de çift veya ikisi de tek).
İspat:
Karşıt olumsuz: Eğer $x$ ve $y$ aynı türden değilse, $x + y$ çift sayı değildir (yani tek sayıdır).
$x$ ve $y$ aynı türden değilse, biri çift diğeri tektir. Örneğin, $x = 2k$ (çift) ve $y = 2m + 1$ (tek) olsun (k ve m tam sayılar).
Bu durumda, $x + y = 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1$ olur. Bu, $x + y$'nin tek sayı olduğunu gösterir.
Karşıt olumsuz doğru olduğundan, orijinal önerme de doğrudur.
