📚 Kümeler Konusuna Giriş
Kümeler, matematikte temel bir konudur ve KPSS'de sıkça karşımıza çıkar. Bu konuyu iyi anlamak, diğer matematik konularını kavramak için de önemli bir alt yapı oluşturur.
🎯 Küme Nedir?
Küme: İyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı net olarak belirlenebilmelidir.
- ✅ Örnek: "Ankara'daki üniversiteler" iyi tanımlı bir kümedir.
- ❌ Örnek Olmayan: "Bazı güzel şehirler" iyi tanımlı değildir.
✍️ Küme Gösterim Yöntemleri
- 📌 Liste Yöntemi: Elemanlar { } içine virgülle yazılır.
Örn: A = {1, 3, 5, 7}
- 📌 Ortak Özellik Yöntemi: Elemanların ortak özelliği yazılır.
Örn: A = { x | x, 10'dan küçük tek doğal sayılar }
- 📌 Venn Şeması Yöntemi: Elemanlar kapalı bir eğri içine nokta olarak yerleştirilir.
🔢 Küme Türleri
- 💡 Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümedir. ∅ veya { } şeklinde gösterilir.
- 💡 Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümedir. E ile gösterilir.
- 💡 Sonlu ve Sonsuz Küme: Eleman sayısı sayılabilir olan kümeler sonlu, sayılamayanlar sonsuz kümedir.
- 💡 Alt Küme: A kümesinin tüm elemanları B kümesinin de elemanı ise, A, B'nin alt kümesidir. A ⊂ B şeklinde gösterilir.
- 💡 Denk Kümeler: Eleman sayıları eşit olan kümelerdir.
- 💡 Eşit Kümeler: Tüm elemanları aynı olan kümelerdir.
🧮 Temel Küme İşlemleri
➡️ Kesişim İşlemi ∩
İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümedir.
A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B }
➡️ Birleşim İşlemi ∪
İki kümenin tüm elemanlarından oluşan kümedir (ortak elemanlar bir kez yazılır).
A ∪ B = { x | x ∈ A veya x ∈ B }
➡️ Tümleyen İşlemi
Evrensel kümede olup, A kümesinde olmayan elemanlardan oluşan kümedir. A' veya Ac şeklinde gösterilir.
A' = { x | x ∈ E ve x ∉ A }
➡️ Fark İşlemi
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardan oluşan kümedir.
A \ B = { x | x ∈ A ve x ∉ B }
📊 Önemli Formüller ve Bağıntılar
- s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
- s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
- A ⊂ B ise A ∪ B = B ve A ∩ B = A
- (A')' = A
- De Morgan Kuralları:
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'
🎭 İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
A ve B kümeleri için, birinci bileşeni A'dan, ikinci bileşeni B'den alınan tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye kartezyen çarpım denir ve A x B şeklinde gösterilir.
A x B = { (x, y) | x ∈ A ve y ∈ B }
Önemli: s(A x B) = s(A) . s(B)
💎 Pratik Bilgiler
- 📌 Boş küme, her kümenin alt kümesidir.
- 📌 Her küme, kendisinin alt kümesidir.
- 📌 n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \)'dir.
- 📌 n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı \( 2^n - 1 \)'dir.
