Limit AYT konu anlatımı

Question

Bu konuda limitin tanımını ve sağdan-soldan limit kavramlarını tam olarak anlayamadım. Özellikle süreklilikle olan ilişkisinde zorlanıyorum. Fonksiyonun grafiği üzerinden nasıl yorumlayacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

📈 Limit: Fonksiyonların Sonsuzdaki Davranışı

Limit kavramı, bir fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaşırken gösterdiği davranışı ifade eder. Bir x değişkeni, bir a sayısına istenildiği kadar yaklaşırken, fonksiyonun (f(x)) yaklaştığı değere, f(x)'in a noktasındaki limiti denir.

🎯 Limitin Gösterimi ve Tanımı

Bir f(x) fonksiyonunun x, a'ya yaklaşırken limiti L ise bu durum:

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)\)

şeklinde gösterilir. Bu ifade, "x, a'ya soldan veya sağdan yaklaşırken f(x) de L değerine yaklaşır" anlamına gelir.

🔄 Sağdan ve Soldan Limit

• ➡️ Sağdan Limit: x değişkeni a sayısına, a'dan büyük değerlerle yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değerdir. \( \lim_{x \to a^{+}} f(x) \) şeklinde gösterilir.
• ⬅️ Soldan Limit: x değişkeni a sayısına, a'dan küçük değerlerle yaklaşırken fonksiyonun yaklaştığı değerdir. \( \lim_{x \to a^{-}} f(x) \) şeklinde gösterilir.

Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) = L \)

🧮 Belirsizlik Durumları ve Limit Hesaplama

Limit hesaplarken karşılaşılan en yaygın belirsizlik \( \frac{0}{0} \) belirsizliğidir. Bu durumda genellikle aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılır:

• 💎 Sadeleştirme: Pay ve payda çarpanlarına ayrılarak sıfır yapan ifade sadeleştirilir.
• ➗ Eşlenik ile Genişletme: Köklü ifadelerin olduğu durumlarda pay veya paydanın eşleniği ile çarpılır.

📌 Örnek 1: Sadeleştirme

\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \) limitini bulalım.

Doğrudan yerine koyarsak \( \frac{0}{0} \) belirsizliği oluşur. İfadeyi çarpanlarına ayıralım:

\( \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 3 + 3 = 6 \)\

📌 Örnek 2: Eşlenik ile Genişletme

\( \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \) limitini bulalım.

Yine \( \frac{0}{0} \) belirsizliği vardır. Payın eşleniği (\( \sqrt{x} + 2 \)) ile genişletelim:

\( \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \)\

∞️⃣ Sonsuzda Limit

Bir fonksiyonun x sonsuza giderkenki (\( x \to \infty \)\) veya eksi sonsuza giderkenki (\( x \to -\infty \)\) davranışına sonsuzda limit denir.

Polinom Fonksiyonlarında Sonsuzda Limit: Sonsuzda bir polinomun davranışı, en yüksek dereceli terimin davranışına bağlıdır.

\( \lim_{x \to \infty} (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0) \) limiti, \( a_nx^n \) teriminin limitine eşittir.

• 📈 Eğer \( n > 0 \) ve \( a_n > 0 \) ise, \( \lim_{x \to \infty} a_nx^n = \infty \)
• 📉 Eğer \( n > 0 \) ve \( a_n < 0 \) ise, \( \lim_{x \to \infty} a_nx^n = -\infty \)
• Tek/Çift dereceye göre \( x \to -\infty \) durumu değişir.

📌 Örnek 3: Sonsuzda Limit

\( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{4x^3 + x^2} \)

Pay ve paydayı, paydanın en yüksek dereceli terimi olan \( x^3 \) ile bölelim:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^3}{x^3} - \frac{5x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{4 + \frac{1}{x}} = \frac{2 - 0 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{2} \)\

⚠️ Limit Kuralları (Teoremleri)

f ve g fonksiyonlarının x, a'ya giderken limitleri var ve c bir reel sayı ise:

• ✅ \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
• ✅ \( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \)
• ✅ \( \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) \)
• ✅ \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
• ✅ \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \), ( \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \) olmak şartıyla)