Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri ifade eder. Bu kavram, matematiğin temel taşlarından biridir ve süreklilik, türev ve integral gibi birçok önemli konunun anlaşılması için gereklidir.
Bir fonksiyonun x değeri bir c sayısına yaklaşırken, fonksiyonun değeri de bir L sayısına yaklaşıyorsa, bu durum "f(x)'in x, c'ye giderken limiti L'dir" şeklinde ifade edilir. Sembolik olarak:
lim (x→c) f(x) = L
Bir fonksiyonun bir noktada limiti olabilmesi için, sol ve sağ limitlerinin eşit olması gerekir.
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limitini bulalım.
lim (x→3) (2x + 1) = 2(3) + 1 = 7
Bu örnekte, x 3'e yaklaşırken, 2x + 1 fonksiyonu 7'ye yaklaşır.
f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini bulalım.
Bu fonksiyon x = 1'de tanımsızdır, çünkü payda sıfır olur. Ancak, limiti hesaplayabiliriz.
f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (x ≠ 1)
lim (x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x→1) (x + 1) = 1 + 1 = 2
Bu örnekte, x 1'e yaklaşırken, (x^2 - 1) / (x - 1) fonksiyonu 2'ye yaklaşır.
Süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinin kopukluk veya sıçrama olmadan çizilebilmesi durumunu ifade eder. Bir fonksiyonun sürekli olması için belirli koşulları sağlaması gerekir.
Bir f(x) fonksiyonunun x = c noktasında sürekli olması için aşağıdaki üç koşulun sağlanması gerekir:
Eğer bu üç koşul sağlanıyorsa, f(x) fonksiyonu x = c noktasında süreklidir.
f(x) = x^2 fonksiyonu her noktada süreklidir. Çünkü her x değeri için f(x) tanımlıdır, limiti vardır ve limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
f(x) = 1 / x fonksiyonu x = 0 noktasında süreksizdir. Çünkü x = 0'da fonksiyon tanımsızdır.
f(x) = { x, x < 1; 2x - 1, x ≥ 1 } fonksiyonunun x = 1 noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
Sol ve sağ limitler eşit ve fonksiyonun değerine eşit olduğundan, fonksiyon x = 1 noktasında süreklidir.
